Die Zahl der Summanden

Wir wenden uns zunächst der Frage nach der Zahl der Monome zu, aus denen ein Quasiintegral $I_{\rm DFS}^{(m)}$ zusammengesetzt ist.

Als Grundlage unserer Untersuchung dienen die drei magnetischen Flaschen, für die wir in Kapitel 2 die Hamilton-Funktionen hergeleitet haben: die Brown-Gabrielse-Magnetflasche (Gl. (3.1)), die Dragt-Finnsche ,,Mirror Machine`` (Gl. 2.41)) und das Størmer-System (Gl. (2.62)). Um eine Vorstellung davon zu bekommen, inwieweit unsere Ergebnisse spezifisch für Hamilton-Funktionen vom Magnetflaschentyp (4.4) sind, beziehen wir außerdem das Hénon-Heiles-System [HeHe64] in unsere Betrachtungen ein. Dieses System wird durch die folgende Hamilton-Funktion beschrieben:

$$\quad H_{\rm HH}(\rho,z,p_\rho,p_z) = \frac{1}{2} \left( ... ...^2+\rho^2+p_z^2+z^2 \right) + \rho^2z - \frac{1}{3}z^3 \quad.$$ (5.1)

$H_{\rm HH}$ ist vom Gustavson-Typ (1.61) und kann demnach schon mit dem Birkhoff-Gustavsonschen Normalformenkalkül behandelt werden. In der folgenden Tabelle führen wir die für die Integralberechnung wesentlichen Charakteristika der vier Hamilton-Funktionen auf:

System	$\qquad$ Typ $\qquad$		Zahl der Monome in $H\qquad$
Hénon-Heiles	Gustavson		6	-- $    $	,,einfach``
Brown-Gabrielse	Magnetflasche		8	-- $    $	,,einfach``
Dragt-Finn	Magnetflasche		5	-- $    $	,,einfach``
Størmer	Magnetflasche		80	-- $    $	,,kompliziert``

Es wird sich zeigen, daß alle vier Modellsysteme -- trotz ihrer in dieser Tabelle deutlich werdenden Unterschiedlichkeit -- sich bezüglich der Summandenzahl ihrer Quasiintegrale sehr ähnlich verhalten.

Das Quasiintegral der Brown-Gabrielse-Magnetflasche entnehmen wir dem Anhang D. Mit unserem in Kapitel 4 beschriebenen Verfahren -- das, weil es den Gustavson-Fall als Spezialfall enthält, auch auf $H_{\rm HH}$ anwendbar ist -- haben wir auch die anderen drei Hamilton-Funktionen auf DFS-Normalform transformiert und dann die entsprechenden Quasiintegrale in den ursprünglichen Koordinaten bestimmt. Wegen des trotz aller Vereinfachungen immer noch recht großen Rechenaufwandes haben wir diese Transformationen nur bis zum Grad 12 einschließlich durchgeführt.

Für die folgenden Untersuchungen stehen also die Quasiintegrale $I_{\rm HH}^{(m)}$, $I_{\rm BG}^{(m)}$, $I_{\rm DF}^{(m)}$ und $I_{\rm S}^{(m)}$ mit $m=2,3,\ldots,12$ zur Verfügung. Dabei ist zu beachten, daß die Hamilton-Funktionen $H_{\rm BG}$ sowie $H_{\rm DF}$ und somit auch die entsprechenden Quasiintegrale gerade Funktionen sind.

Wir geben die $I^{(m)}$ hier nicht explizit an. Statt dessen diskutieren wir, wie die Anzahl der Summanden dieser Polynome mit zunehmendem $m$ anwächst. Hierzu definieren wir $N(m)$ als die Anzahl der Monome des Quasiintegrals $I^{(m)}$ und werten diese Funktion für unsere Beispielsysteme aus. Das Ergebnis dieser Abzählaufgabe ist in Abbildung 5.1 dargestellt.

Bei kleinen Graden $m$ besteht das Quasiintegral des Hénon-Heiles-Systems offensichtlich aus mehr Summanden als die Integrale der anderen Systeme. Diese Tatsache liegt darin begründet, daß das formale Integral der auf Normalform transformierten Hamilton-Funktion $H_{\rm HH}$ mehr Terme enthält als die formalen Integrale der anderen normalisierten Systeme: Es besteht aus vier Summanden, gegenüber den nur zwei Summanden bei den Magnetflaschen-Hamilton-Funktionen. Man vergleiche hierzu die Gln. (4.4) und (4.13). Mit größer werdendem $m$ ändert sich das Bild, denn nun macht sich der Einfluß der vielen Terme der Størmer-Hamilton-Funktion (2.62) bemerkbar. Ohne diesen Punkt hier eingehender diskutieren zu wollen, merken wir an, daß eine komplizierte Hamilton-Funktion bei der Lösung der homologischen Gleichung (1.66a) im Zuge der Normalformtransformation komplizierte erzeugende Funktionen $F_m$ zur Folge hat. Umgekehrt bedeutet dies nach der Rücktransformation auf die ursprünglichen Koordinaten, daß das Quasiintegral entsprechend kompliziert ist. Man erkennt diesen Sachverhalt in Abbildung 5.1 daran, daß $I_{\rm S}^{(m)}$ bei wachsendem $m$ sehr schnell eine mit $I_{\rm HH}^{(m)}$ vergleichbare Monomanzahl erreicht. Dagegen besitzen die zu den einfacheren Hamilton-Funktionen $H_{\rm BG}$ und $H_{\rm DF}$ gehörenden Quasiintegrale durchweg nur etwa halb so viele Summanden wie die beiden anderen $I^{(m)}$.

Interessant ist auch der Vergleich der Monomzahl der beiden Quasiintegrale $I_{\rm BG}^{(m)}$ und $I_{\rm DF}^{(m)}$. In Abschnitt 2.3 haben wir beschrieben, wie die Dragt-Finn-Flasche als gezielte Vereinfachung der Brown-Gabrielse-Flasche konstruiert wird. Die einfachere Struktur von $H_{\rm DF}$ gegenüber $H_{\rm BG}$ schlägt sich tatsächlich in der Abbildung 5.1 nieder, aber der Effekt ist eher marginal. Typischerweise ist die Monomzahl der Brown-Gabrielse-Flasche nur um einen Faktor 1.2 bis 1.3 größer als die der Dragt-Finn-Flasche.

Wir können demnach feststellen, daß die Komplexität der zugrunde liegenden Hamilton-Funktion die Komplexität des Quasiintegrals in der Tat beeinflußt. Dieser Effekt wird aber erst bedeutsam, wenn man zwei Hamilton-Funktionen vergleicht, deren Summandenzahlen sich sehr stark unterscheiden, beispielsweise $H_{\rm BG}$ und $H_{\rm S}$. Entscheidender ist der Einfluß der Gestalt des quadratischen Anteils der Hamilton-Funktion. Wir haben gesehen, daß ein Gustavsonsches $H_2$ zu einem erheblich komplexeren Quasiintegral führt als ein Magnetflaschen-$H_2$ mit einer vergleichbaren Summandenzahl.

Es ist ein auffallendes Merkmal der Abbildung 5.1, daß $N(m)$ für alle vier betrachteten Systeme bei hinreichend großem $m$ einem Potenzgesetz genügt. Offensichtlich gilt in sehr guter Näherung:

$$\quad N(m) \approx b\,m^\beta \quad\mbox{mit}\quad b,\beta=\mbox{konst.}\quad.$$ (5.2)

Wir haben $\beta$ aus den Daten der Abbildung 5.1 für $m\geq4$ mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt:

System	$\qquad\beta\qquad$
Hénon-Heiles	3.02
Brown-Gabrielse	3.11
Dragt-Finn	3.16
Størmer	3.25

Im Mittel ergibt sich hieraus

$$\quad \beta = 3.14 \pm 4\% \quad.$$ (5.3)

Dies ist ein erstaunliches Resultat: Trotz der sehr unterschiedlichen Struktur der einzelnen Hamilton-Funktionen wächst die Summandenzahl der entsprechenden Quasiintegrale in allen vier Fällen nahezu gleich schnell.

Interessanterweise wächst in dem betrachteten $m$-Intervall die Dimension des Polynomraumes $\L ^{(m)}:=\L _2\oplus\L _3\oplus\cdots\oplus\L _m$, dessen Elemente die $I^{(m)}$ ja sind, nach fast genau dem gleichen Potenzgesetz, denn es gilt:

$$\quad \dim(\L ^{(m)}) \approx c\,m^\gamma \quad \mbox{mit} \quad c=\mbox{konst.},\; \gamma=3.04 \quad.$$ (5.4)

(Dies ist wiederum eine Kleinste-Quadrate-Näherung für $4\leq m\leq12$.) Demnach scheint es eine typische Eigenschaft der Quasiintegrale zu sein, daß bei wachsendem $m$ stets etwa der gleiche (systemabhängige) Bruchteil der insgesamt zur Verfügung stehenden Monome für die Darstellung von $I^{(m)}$ benötigt wird. Bei der Brown-Gabrielse-Magnetflasche und dem Størmer-System finden wir beispielsweise

$$\qquad\quad \begin{array}{lcl} \displaystyle \frac{N_{\rm... ...end{array} \qquad \mbox{f\uml {u}r} \quad 4\leq m\leq12 \quad.$$