Transformation auf Dipolarkoordinaten

Durch die Skalierung haben wir die Hamilton-Funktion vereinfacht, indem wir ,,unwesentliche`` Zahlenfaktoren eliminiert haben. Leider ist aber auch die so erhaltene vereinfachte Hamilton-Funktion noch zu kompliziert, als daß wir sie direkt mit dem Normalformen-Formalismus analysieren könnten, denn offensichtlich liegt $H_{\rm S}$ nicht als Potenzreihe vor. Eine wesentliche Voraussetzung der Transformation auf Normalform ist damit nicht erfüllt.

Zur Lösung dieses Problems erinnern wir uns daran, daß wir ohnehin keine exakte Formel für die Normalform oder für ein drittes (formales) Integral^2.8des Størmer-Problems angeben wollen. Vielmehr wollen wir diese Größen

näherungsweise berechnen, und zwar in der Form von Potenzreihenentwicklungen, die nach endlich vielen Summanden abgebrochen werden. Es liegt also nahe, in einem ersten Schritt auch die Hamilton-Funktion des Størmer-Problems in eine Potenzreihe zu entwickeln und genauso viele Terme dieser Entwicklung zu berücksichtigen, wie wir für die gewünschte Genauigkeit des Quasiintegrals benötigen. Wenn wir zum Beispiel das Quasiintegral bis zur Ordnung $k$ bestimmen wollen, müssen wir zunächst $H_{\rm S}$ bis zur Ordnung $k$ entwickeln.

Es stellt sich nun vor allem die Frage, welcher Koordinaten man sich für die Hamilton-Funktion bedienen soll, damit man die Reihenentwicklungen ab einer gewissen Ordnung abbrechen kann, ohne einen zu großen Fehler zu erhalten. So sind zum Beispiel die Zylinderkoordinaten $(\rho,z)$ ungeeignet, denn das Teilchen wird, annähernd einer Feldlinie folgend, relativ stark sowohl in $\rho$- als auch in $z$-Richtung oszillieren; dies wird in Abbildung 2.6 für einen typischen Orbit veranschaulicht.

Statt dessen suchen wir Koordinaten $(q_1,q_2)$, die der Teilchenbewegung besser angepaßt sind und sich mit kleinerer Amplitude ändern. Wir haben schon früher gesehen, daß die Bewegung des Teilchens durch eine Translation längs einer Feldlinie, überlagert mit der Rotation um diese Feldlinie herum, beschrieben werden kann. Deshalb verwenden wir die von Dragt eingeführten orthogonalen Dipolarkoordinaten (vgl. [Dr65,DrFi79]),

die diesem Bewegungstypus Rechnung tragen, denn Gl. (2.53b) stimmt mit Gl. (2.44) überein: Die $q_2$-Koordinatenlinien, also die Linien mit konstantem $q_2$, sind die Dipol-Feldlinien. $q_1$ beschreibt die Translation entlang den Feldlinien, während $q_2$ für die Bewegung senkrecht zu ihnen steht.

Die Transformation auf Dipolarkoordinaten führt dazu, daß die Dynamik in zwei in erster Näherung voneinander unabhängige Oszillationen zerlegt wird; die Oszillation in $q_2$-Richtung (um die Feldlinie herum) ist schneller als diejenige in $q_1$-Richtung (entlang der Feldlinie). Dabei ist entscheidend, daß diese neuen Koordinaten um die Null herum oszillieren -- um dies zu erreichen, steht in Gl. (2.53b) auf der linken Seite $q_2+1$, im Gegensatz zu Dragts ursprünglicher Definition $q_2=r^3/\rho^2$. Wichtig ist auch, daß $q_1$ und $q_2$ mit nicht zu großer Amplitude oszillieren -- wie zu fordern ist, wenn eine Reihenentwicklung der Hamilton-Funktion sinnvoll sein soll. Abbildung 2.7,

die den gleichen Orbit wie Abbildung 2.6 in Dipolarkoordinaten zeigt, veranschaulicht diesen Sachverhalt.

Bei der Transformation von Zylinder- auf Dipolarkoordinaten in Gl. (2.53) handelt es sich nur um eine Punkttransformation im Konfigurationsraum. Für die vollständige Angabe der entsprechenden kanonischen Transformation fehlen noch Transformationsformeln für die zu $q_1$ und $q_2$ kanonisch-konjugierten Impulse $p_1$ und $p_2$. Wir benötigen diese Transformationsformeln, um die Størmersche Hamilton-Funktion in Dipolarkoordinaten formulieren zu können. Zur Berechnung dieser Formeln suchen wir zunächst eine erzeugende Funktion vom $F_2$-Typ für die kanonische Transformation:

$$\quad F_2 = F_2(\rho,z,p_1,p_2) \quad.$$

Dabei muß für $F_2$ gelten (vgl. zum Beispiel [No90a]):

Wir setzen für $F_2$ so einfach wie möglich an (und verstehen $r$ und $\vartheta$ bzw. $\rho$ und $z$ im folgenden als Funktionen von $q_1$ und $q_2$),

$$\quad F_2(\rho,z,p_1,p_2) = q_1(\rho,z) \; p_1+q_2(\rho,z) \; p_2$$

$$= \left( \frac{\cos\vartheta}{r^2} \right) p_1 + \left( \frac{r}{\sin^2\vartheta}-1 \right) p_2 \quad,$$ (2.51)

wodurch die Gln. (2.54c) und (2.54d) automatisch erfüllt sind. Die Auswertung der Gln. (2.54a) und (2.54b) ergibt dann

$$p_\rho = \left( \frac{\partial\cos\vartheta}{\partial\rho} \frac{1}{\rho^2... ...rac{2r}{\sin^3\vartheta} \frac{\partial\sin\vartheta}{\partial\rho} \right) p_2$$

$$= \left( - \frac{3\cos\vartheta}{(q_2+1)^3\sin^5\vartheta} \right) p_1 + \left( \frac{3}{\sin\vartheta} - \frac{2}{\sin^3\vartheta} \right) p_2$$ (2.52)

und

$$\quad p_z = \left( \frac{\partial\cos\vartheta}{\partial z} \frac{1}{r^2} - \... ...\frac{2r}{\sin^3\vartheta} \frac{\partial\sin\vartheta}{\partial z} \right) p_2$$

$$= \left( \frac{3}{(q_2+1)^3\sin^4\vartheta} - \frac{2}{(q_2+1)^3\si... ... \right) p_1 + \left( \frac{3\cos\vartheta}{\sin^2\vartheta} \right) p_2 \quad.$$ (2.53)

Durch Umstellen dieser beiden Gleichungen nach $p_1$ und $p_2$ könnte man explizite Formeln für die zu den Dipolarkoordinaten gehörenden kanonischen Impulse angeben. Das ist in unserem Fall aber gar nicht nötig, weil wir lediglich die Hamilton-Funktion auf die neuen Phasenraumvariablen umschreiben wollen. Die alten Impulse $p_\rho$ und $p_z$ treten in der alten Hamilton-Funktion nur als Summe ihrer Quadrate auf, so daß wir auch nur diese Summe als Funktion von $q_1$, $q_2$, $p_1$ und $p_2$ benötigen:

$${ p_\rho^2 + p_z^2 = }$$

$$= \left\{ \left( \frac{3\cos\vartheta}{(q_2+1)^3\sin^5\vartheta} \r... ...3\sin^4\vartheta} - \frac{2}{(q_2+1)^3\sin^6\vartheta} \right)^2 \right\} p_1^2$$

$${} + \left\{ \left( \frac{3}{\sin\vartheta} - \frac{2}{\sin^3\var... ...ght)^2 + \left( \frac{3\cos\vartheta}{\sin^2\vartheta} \right)^2 \right\} p_2^2$$

$${} + \left\{ 2 \left(\frac{3}{\sin\vartheta} - \frac{2}{\sin^3\va... ...\right) \left( -\frac{3\cos\vartheta}{(q_2+1)^3\sin^5\vartheta} \right) \right.$$

$$\left. {} + 2 \left( \frac{3\cos\vartheta}{\sin^2\vartheta} \righ... ...^3\sin^4\vartheta} - \frac{2}{(q_2+1)^3\sin^6\vartheta} \right) \right\} p_1p_2$$

$$= \frac{1+3\cos^2\vartheta}{(q_2+1)^6\sin^{12}\vartheta} \; p_1^2 + \frac{1+3\cos^2\vartheta}{\sin^6\vartheta} \; p_2^2 \quad.$$ (2.54)

Für das Potential $V_{\rm S}$ erhalten wir in Dipolarkoordinaten:

$$\tilde{V}_{\rm S}(q_1,q_2) := V_{\rm S}\left(\rho(q_1,q_2),z(q_1,q_2)\right)$$

$$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(q_2+1)\sin^3\vartheta} - \frac{1}{(q_2+1)^2\sin^3\vartheta} \right)^2$$

$$= \frac{q_2^2}{2(q_2+1)^4\sin^6\vartheta} \quad.$$ (2.55)

Damit haben wir das Resultat, daß sich die Størmersche Hamilton-Funktion (2.46) nach der durch $F_2$ erzeugten kanonischen Transformation auf Dipolarkoordinaten als

$$\tilde{H}_{\rm S}(q_1,q_2,p_1,p_2) := H_{\rm S}\Big(\rho(q_1,q_2,p_1,p_2),z(q_1,q_2,p_1,p_2),$$

$$\qquad p_\rho(q_1,q_2,p_1,p_2),p_z(q_1,q_2,p_1,p_2)\Big)$$

$$= \frac{1}{2} \left\{ \left(\frac{p_1}{h_1}\right)^2 + \left(\frac{p_2}{h_2}\right)^2 \right\} + \tilde{V}_{\rm S}(q_1,q_2)$$ (2.56)

schreiben läßt mit

$$\begin{array}{rcl} \quad h_1^2 & := & {\displaystyle \fra... ...\vartheta}{1+3\cos^2\vartheta}} \quad. \\ [0.2cm] \end{array}$$

In den Gln. (2.59-2.61) stellt $\vartheta$ nur eine abkürzende Schreibweise für $\vartheta(q_1,q_2)$ dar, wobei der Zusammenhang zwischen $q_1$, $q_2$ und $\vartheta$ durch Gl. (2.53) gegeben ist.

Nachdem wir die Hamilton-Funktion $\tilde{H}_{\rm S}$ in Dipolarkoordinaten formuliert haben, können wir sie jetzt nach den -- als klein angesehenen -- $q_1$, $q_2$, $p_1$ und $p_2$ entwickeln. Zuerst zeigen wir aber noch, daß eine solche Entwicklung in der Tat sinnvoll ist, weil man durch die Wahl der Energie immer erreichen kann, daß $p_1$ und $p_2$ beliebig klein sind und bleiben. Wir leiten aus Gl. (2.61) die Ungleichungen $h_1^2\leq\left(q_2+1\right)^6$ und $h_2^2\leq 1$ ab und folgern damit aus Gl. (2.60), daß bei der Energie $\tilde{H}_{\rm S}=\tilde{E}$ gilt:

$$\begin{eqnarray*} p_1^2+p_2^2 & \leq & \left\{ \left( \frac{p_1}{h_1} \right)^2... ...6 \\ [0.2cm] & \leq & 2\tilde{E} \left( q_2+1 \right)^6 \quad. \end{eqnarray*}$$

Hieraus folgt die Behauptung, weil $q_2$ für gebundene Orbits beschränkt ist, wie wir oben gesehen haben. Solange man sich also auf solche Trajektorien beschränkt, deren Energie hinreichend klein ist und die genügend nahe am ,,Thalweg`` starten, werden alle vier Phasenraumkoordinaten $q_1$, $q_2$, $p_1$ und $p_2$ klein bleiben.

In Anhang C führen wir die Berechnung der Potenzreihenentwicklung für $\tilde{H}_{\rm S}$ durch. Als Resultat ergibt sich die folgende Näherungsformel für die Størmersche Hamilton-Funktion in Dipolarkoordinaten:

$$%% \label{StHamEntwicklung} \begin{array}{rcl} \lefteqn{ \t... ...^6 q_2 p_2^2 +15 q_1^6 q_2 p_1^2 +112 q_1^6 q_2^3 \end{array}$$

$$\quad +643.5 q_2^8 p_1^2 +82.5 q_2^{10} +31.5 q_1^2 q_2^6 p_1^2 -315 q_1^4 q_2^4 p_2^2 -3 q_1^4 q_2^6$$

$${} +1320 q_1^6 q_2^2 p_2^2 +37.5 q_1^6 q_2^2 p_1^2 +392 q_1^6 q_2^4 -115.5 q_1^8 p_2^2 -27 q_1^8 p_1^2$$

$${} -82.5 q_1^8 q_2^2 -1001 q_2^9 p_1^2 -110 q_2^{11} -36 q_1^2 q_2^7 p_1^2 -252 q_1^4 q_2^5 p_2^2$$

$${} +4400 q_1^6 q_2^3 p_2^2 +50 q_1^6 q_2^3 p_1^2 +784 q_1^6 q_2^5 -1848 q_1^8 q_2 p_2^2$$

$${} -270 q_1^8 q_2 p_1^2 -990 q_1^8 q_2^3 +1501.5 q_2^{10} p_1^2 +143 q_2^{12} +40.5 q_1^2 q_2^8 p_1^2$$

$${} -126 q_1^4 q_2^6 p_2^2 +9900 q_1^6 q_2^4 p_2^2 +37.5 q_1^6 q_2^4 p_1^2 +980 q_1^6 q_2^6$$

$${} -13860 q_1^8 q_2^2 p_2^2 -1215 q_1^8 q_2^2 p_1^2 -5445 q_1^8 q_2^4 +756 q_1^{10} p_2^2$$

$${} +214.5 q_1^{10} p_1^2 +546 q_1^{10} q_2^2 %%******************... ...* + {{\cal O}\left(\vert{\mbox{\protect\boldmath$z$}}\vert^{13}\right)} \quad,$$ (2.57)

wobei das Symbol ${{\cal O}\left(\vert{\mbox{\protect\boldmath$z$}}\vert^{13}\right)}$ wieder andeuten soll, daß wir alle Summanden mit einem größeren Totalgrad als 12 in $q_1,q_2,p_1$ und $p_2$ vernachlässigen.

Damit liegt auch die Størmersche Hamilton-Funktion in einer Form vor, in der sie mit den Mitteln der Normalformentheorie untersucht werden kann. Wir bemerken, daß $\tilde{H}_{\rm S}$ ebensowenig im Rahmen der Gustavsonschen Theorie behandelbar ist wie die Hamilton-Funktionen, die wir in den vorangegangenen Abschnitten besprochen haben. Erst die Dragt-Finn-Stegemerten-Theorie schafft hier Abhilfe und ermöglicht die Untersuchung von $\tilde{H}_{\rm S}$^2.9.

Das Beispiel des Størmer-Problems zeigt, daß auch Systeme, deren Hamilton-Funktion nicht in Form einer Potenzreihe vorliegt, der Analyse mittels Normalformentheorie zugänglich sind. Es ist aber offenkundig, daß die in diesen Fällen notwendige Umformulierung der Hamilton-Funktion große Schwierigkeiten bereiten kann.

Fußnoten

... Integral^2.8

Die ,,ersten`` beiden Integrale der Bewegung für das Størmer-Problem sind die Energie und $p_\varphi$.

... $\tilde{H}_{\rm S}$^2.9

In [CoVl75] wird eine andere Variante der Untersuchung der Størmer-Hamilton-Funktion (2.62) mittels Normalformen angegeben: Um die Behandlung im Rahmen des Gustavsonschen Formalismus zu ermöglichen, wird die Hamilton-Funktion in eine andere transformiert, deren quadratischer Anteil vom Typ (1.61) ist. Eine solche Transformation der Hamilton-Funktion gelingt aber bei anderen Systemen im allgemeinen nicht, so daß auch hier die in jedem Fall durchführbare verallgemeinerte Normalformentheorie vorzuziehen ist.