Bestimmung der Hamilton-Funktion

Für die Beschreibung des zu dem Dipolmoment ${\mbox{\protect\boldmath$M$}}=M{\mbox{\protect\boldmath$e$}}_z$ gehörenden Dipolmagnetfeldes

$${\mbox{\protect\boldmath$B$}}_{\rm S}({\mbox{\protect\boldm... ...r$}}}{r^5} -\frac{{\mbox{\protect\boldmath$M$}}}{r^3} \right)$$ (2.42)

haben wir im Rahmen der Multipolentwicklung von Abschnitt 2.1 offensichtlich zu wählen:

$$\quad b_l^+ = 0 \quad \mbox{f\uml {u}r} \quad l\geq 0$$

$$b_1^- = \frac{\mu_0M}{4\pi}$$ (2.43)

$$b_l^- = 0 \quad \mbox{f\uml {u}r} \quad l\neq 1 \quad,$$

wie man aus Tabelle 2.2 entnehmen kann.

Eine Formel $r_{\rm S}(\vartheta)$ für die Feldlinien des Størmer-Magnetfeldes ${\mbox{\protect\boldmath$B$}}_{\rm S}$ berechnet man am einfachsten in Kugelkoordinaten. Wir schreiben das Magnetfeld als $B_{{\rm S},r}{\mbox{\protect\boldmath$e$}}_r+B_{{\rm S},\vartheta}{\mbox{\protect\boldmath$e$}}_\vartheta$ und schließen aus Gl. (2.26)

$$\quad \frac{dr_{\rm S}}{d\vartheta} = \frac{B_{{\rm S},r} ... ...eta} (r_{\rm S},\vartheta)} = 2r_{\rm S}\cot\vartheta \quad.$$

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung erhalten wir als

$$\quad r_{\rm S}(\vartheta) = (q_2+1)\sin^2\vartheta \qquad \mbox{mit} \qquad q_2=\mbox{konst.}$$ (2.44)

Der Grund für die ungewöhnliche Schreibweise des konstanten Vorfaktors als $q_2+1$ wird im Zusammenhang mit den in Abschnitt 2.4.3 einzuführenden Dipolarkoordinaten klar werden. In Abbildung 2.4

sind die wohlbekannten Størmer-Magnetfeldlinien der Gl. (2.44) dargestellt.

Mit dem zu ${\mbox{\protect\boldmath$B$}}_{\rm S}$ gehörenden Vektorpotential

$${\mbox{\protect\boldmath$A$}}_{\rm S}(\rho,z) = \frac{\mu_0M}{4\pi}\frac{\rho}{r^3}{\mbox{\protect\boldmath$e$}}_\varphi$$ (2.45)

erhält man aus Gl. (2.16) die entsprechende Størmer-Hamilton-Funktion als

$$\qquad H_{\rm S}(\rho,z,p_\rho,p_z) = \frac{1}{2m}\left\{p... ...u_0M}{4\pi}\frac{\rho}{r^3} \right)^2 + p_z^2 \right\} \quad.$$ (2.46)

Durch eine geeignete Skalierung vereinfachen wir diese Hamilton-Funktion, wobei wir einen etwas anderen Weg als in [Se90] beschreiten. Dort wurden die Ortsraumkoordinaten mit der sogenannten
Størmer-Einheit $\sqrt{\frac{q\mu_0M}{4\pi mv}}$ (mit $v=\vert\dot{{\mbox{\protect\boldmath$r$}}}\vert$) skaliert, was letztlich auf eine Hamilton-Funktion führt, die die Bewegung bei der konstanten Energie $1/2$ beschreibt. $p_\varphi$ verbleibt als ein frei wählbarer Parameter des Systems. Hingegen ziehen wir hier -- im Einklang mit [DrFi79] und analog zu den anderen oben betrachteten Modellsystemen -- eine Skalierung vor, die auf eine Hamilton-Funktion führt, die nicht mehr parameterabhängig ist und statt dessen einem System mit einer nicht-konstanten, frei wählbaren Energie entspricht. Dazu skalieren wir wie in [CoVl75] Längen mit

$$\quad r_0 := \frac{q\mu_0M}{4\pi p_\varphi} \quad,$$ (2.47)

das heißt, wir führen gestrichene Größen ein, indem wir

$$\begin{array}{rcl} \rho & = & r_0 \rho' \\ [0.2cm] z & = & r_0 z' \end{array}$$ (2.48)

setzen und außerdem

$$\begin{array}{ccl} t & = & {\displaystyle \frac{mr_0^2}{p_... ...isplaystyle \frac{p_\varphi^2}{mr_0^2}} H_{\rm S}' \end{array}$$ (2.49)

benutzen, so daß wir schließlich zu der folgenden skalierten Hamilton-Funktion für das Størmer-Problem gelangen (die Strichmarkierungen werden wieder der Einfachheit halber weggelassen):

$$\quad H_{\rm S}(\rho,z,p_\rho,p_z) = \frac{1}{2} \left( p... ...{1}{2} \left( \frac{1}{\rho}-\frac{\rho}{r^3} \right)^2 \quad.$$ (2.50)

Man kann diese Funktion auffassen als die Hamilton-Funktion eines Teilchens mit zwei Freiheitsgraden der Bewegung, das sich im ,,Størmer-Potential``

$$V_{\rm S}(\rho,z) := \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\rho}- \frac{\rho}{r^3} \right)^2$$ (2.51)

bewegt.