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Im Hinblick auf die
Dynamik eines Teilchens, das durch
beschrieben wird, diskutieren wir kurz das zugehörige Potential
.
Wir bestimmen zunächst die Nullstellen (gekennzeichnet durch den
Index ) von . Diese sind durch
also durch
|
(2.52) |
gegeben. Weil für alle und nichtnegativ ist,
beschreibt
gerade die Punkte im
Konfigurationsraum mit minimalem
Potential. Der Vergleich mit
Gl. (2.44) zeigt, daß alle diese Potentialminima auf
der gleichen Feldlinie des Magnetfeldes
liegen; diese
spezielle Feldlinie ist durch charakterisiert. Abbildung
2.5
stellt dreidimensional dar und gibt eine anschauliche
Vorstellung von der Lage der Kurve minimalen Potentials.
Es handelt sich um eine
vom Koordinatenursprung ausgehende Schleife, wobei aber der
Ursprung selbst kein Potentialminimum ist. Die Darstellung von
als ,,Potentialgebirge`` über der -Ebene motiviert die
Bezeichnung von
als ,,Thalweg``2.7.
Eine elementare Rechnung ergibt, daß der einzige weitere kritische Punkt
von ein Sattelpunkt ist, der bei
liegt. Das Potential hat an dieser Stelle den Wert
.
Weil die Gesamtenergie eines Teilchens, als Summe von kinetischer und
potentieller Energie, nicht kleiner als das Potential an irgendeiner
Stelle des dynamisch erlaubten Raumbereiches sein kann, ist die Bewegung
gebunden, wenn die Gesamtenergie nicht größer als ist
und die Anfangsbedingungen in der -Ebene nahe genug am
,,Thalweg`` liegen. In
diesem Fall sind die Teilchenbahnen offensichtlich auf einen Raumbereich
um den ,,Thalweg`` herum eingeschränkt.
Fußnoten
- ... ,,Thalweg``2.7
-
Diese Begriffsbildung vollzog sich vor fast 100 Jahren, und so hat sich
in der englischsprachigen Literatur die altertümliche deutsche
Schreibweise ,,Thalweg`` eingebürgert, die bis heute verwendet wird.
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Martin_Engel
2000-05-25