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Diskussion des Størmer-Potentials

Im Hinblick auf die Dynamik eines Teilchens, das durch $H_{\rm S}$ beschrieben wird, diskutieren wir kurz das zugehörige Potential $V_{\rm S}$.

Wir bestimmen zunächst die Nullstellen (gekennzeichnet durch den Index ${}_{\rm N}$) von $V_{\rm S}$. Diese sind durch

\begin{displaymath}
\quad r_{\rm N}^3-\rho_{\rm N}^2=0 \quad,
\end{displaymath}

also durch
\begin{displaymath}
r_{\rm N}(\vartheta) = \sin^2(\vartheta) \qquad (\mbox{f\uml {u}r} \quad
\vartheta\neq 0,\pi)
\end{displaymath} (2.52)

gegeben. Weil $V_{\rm S}$ für alle $\rho $ und $z$ nichtnegativ ist, beschreibt $r_{\rm N}(\vartheta)$ gerade die Punkte im Konfigurationsraum mit minimalem Potential. Der Vergleich mit Gl. (2.44) zeigt, daß alle diese Potentialminima auf der gleichen Feldlinie des Magnetfeldes ${\mbox{\protect\boldmath$B$}}_{\rm S}$ liegen; diese spezielle Feldlinie ist durch $q_2=0$ charakterisiert. Abbildung 2.5 stellt $V_{\rm S}$ dreidimensional dar und gibt eine anschauliche Vorstellung von der Lage der Kurve minimalen Potentials. Es handelt sich um eine vom Koordinatenursprung ausgehende Schleife, wobei aber der Ursprung selbst kein Potentialminimum ist. Die Darstellung von $V_{\rm S}$ als ,,Potentialgebirge`` über der $(\rho,z)$-Ebene motiviert die Bezeichnung von $r_{\rm N}(\vartheta)$ als ,,Thalweg``2.7. Eine elementare Rechnung ergibt, daß der einzige weitere kritische Punkt von $V_{\rm S}$ ein Sattelpunkt ist, der bei

\begin{displaymath}
(\rho_{\rm Sattel},z_{\rm Sattel}) = (2,0)
\end{displaymath}

liegt. Das Potential hat an dieser Stelle den Wert $V(\rho_{\rm Sattel},z_{\rm Sattel})=\frac{1}{32}$.

Weil die Gesamtenergie eines Teilchens, als Summe von kinetischer und potentieller Energie, nicht kleiner als das Potential an irgendeiner Stelle des dynamisch erlaubten Raumbereiches sein kann, ist die Bewegung gebunden, wenn die Gesamtenergie nicht größer als $\frac{1}{32}$ ist und die Anfangsbedingungen in der $(\rho,z)$-Ebene nahe genug am ,,Thalweg`` liegen. In diesem Fall sind die Teilchenbahnen offensichtlich auf einen Raumbereich um den ,,Thalweg`` herum eingeschränkt.



Fußnoten

... ,,Thalweg``2.7
Diese Begriffsbildung vollzog sich vor fast 100 Jahren, und so hat sich in der englischsprachigen Literatur die altertümliche deutsche Schreibweise ,,Thalweg`` eingebürgert, die bis heute verwendet wird.

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Martin_Engel 2000-05-25