Die Birkhoff-Gustavson-Normalform

Wir kommen nun zur grundlegenden Idee der Normalformentheorie für Hamilton-Systeme. Das Ziel ist es, die Hamilton-Funktion dahingehend zu vereinfachen, daß man ein zweites Integral der Bewegung angeben kann.^1.7Insbesondere für Systeme mit zwei Freiheitsgraden der Bewegung ($n=2$) ist klar, daß das Auffinden eines zweiten Integrals eine wesentliche Vereinfachung darstellt, denn damit wäre das Problem bereits vollständig gelöst: Das System besäße die größtmögliche Anzahl voneinander unabhängiger Integrale und das Liouville-Arnold-Theorem wäre anwendbar, falls die Bewegung gebunden ist. Zudem könnten wir den 2-Torus, auf dem alle Trajektorien verlaufen, durch die beiden bekannten Integrale vollständig charakterisieren und hätten somit ein vollständige geometrische Beschreibung des Phasenflusses. Im Rahmen der Gustavsonschen Normalformentheorie [Gu66] versucht man, die Hamilton-Funktion so zu transformieren, daß der quadratische Anteil $H_2({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ der transformierten Hamilton-Funktion zu einem Integral der Bewegung wird.

Wir stellen Gustavsons Verfahren hier nicht in seiner ursprünglichen Formulierung dar, sondern bedienen uns der Lie-Transformationstheorie. Stegemerten [St91] demonstriert, daß man auf diese Weise die gleichen Ergebnisse erhält wie bei Verwendung von Gustavsons Formulierung. Der entscheidende Vorteil unserer Vorgehensweise liegt darin, daß alle auftretenden Ausdrücke erheblich einfacher und übersichtlicher notiert werden können. Zudem werden wir so auf natürliche Weise zu der in Abschnitt 1.2.3 dargestellten Verallgemeinerung geführt.

Definition 1.3   Es sei eine Hamilton-Funktion $H({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ in Form einer Potenzreihe (1.41) gegeben, deren quadratischer Summand die Form

$$\quad H_2({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) = \sum_{\nu=1}^n ... ...}^n \frac{\omega_\nu}{2} \left(q_\nu^2+p_\nu^2\right) \quad.$$ (1.47)

hat, mit $\omega_\nu>0, \ \nu=1,2,\ldots,n$.

Man sagt, daß $H({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ in Gustavson-Normalform bis zum Grad $m$ ist, wenn gilt:

Man beachte, daß jede Hamilton-Funktion vom Typ (1.61) von vornherein in Gustavson-Normalform bis zum Grad 2 ist.

Im Rahmen der Gustavsonschen Theorie werden also nur solche Systeme behandelt, die in niedrigster Ordnung (1.61) durch $n$ harmonische Oszillatoren mit den Frequenzen $\omega_\nu$ beschrieben werden können. Die Anteile der Hamilton-Funktion mit größerem Grad als 2, $\sum_{l\geq 3}H_l({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$, beschreiben die Anharmonizitäten und anharmonischen Kopplungen dieser Oszillatoren, die im allgemeinen zu einer beliebig komplizierten Dynamik führen. Der Grund für die einschränkende Forderung nach diesem $H_2$-Typ wird im folgenden Abschnitt 1.2.3 diskutiert.

Es liegt auf der Hand, daß diese Normalformdefinition im Hinblick auf die gewünschte Vereinfachung des Systems sinnvoll ist, denn offensichtlich ist der quadratische Anteil der Hamilton-Funktion ein Integral der Bewegung, wenn $H({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ in Gustavson-Normalform ist:

$$\begin{array}{ccl} {\bf\cal A}_l(H_l) = 0 \quad \forall \; ... ... H_2({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) = \mbox{konst.} \end{array}$$ (1.47)

Hierbei ist es wesentlich, daß das Integral $H_2$ wirklich eine bisher nicht verfügbare Information über das System beinhaltet: Unter gewissen Bedingungen, die wir in Abschnitt 1.2.4 diskutieren werden, sind $\H$ und $H_2$ zwei voneinander unabhängige Integrale der Bewegung im Sinne von Arnold [Ar83]. Die Situation ist allerdings etwas komplizierter, als es auf den ersten Blick scheint.

Wenn eine beliebige Hamilton-Funktion vom Typ (1.61) gegeben ist, dann ist $H_2({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ selbstverständlich noch kein Integral der Bewegung. Vielmehr müssen wir $H({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ zunächst auf Normalform transformieren und erst nach dieser Transformation, in den entsprechenden neuen Koordinaten $\tilde{z}_i$, ist $\tilde{H}_2(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}})\equiv H_2({\mbox{\protect\boldmath$z$}}(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}))$ konstant. Transformiert man dann diese Konstante der Bewegung zurück auf die ursprünglichen Koordinaten $z_i$, so erhält man das zweite Integral der Bewegung als eine Funktion von ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}$, die im allgemeinen nicht nur aus quadratischen Termen besteht.

Um eine gegebene Hamilton-Funktion $\H$ in eine neue Hamilton-Funktion $G$ zu transformieren, die in Gustavson-Normalform ist, bedienen wir uns einer (unendlichen) Folge von Lie-Transformationen $\exp\left(\mbox{\rm ad}_{F_m}\right)$, die jeweils einem Grad $m$-Polynom mit $m\geq 3$ assoziiert sind:

$$\quad G = \exp\left(\mbox{\rm ad}_{F_m}\right) (H) \quad.$$ (1.48)

Wir ordnen diese Gleichung nach Graden, wobei wir berücksichtigen, daß für $F_m\in\L _m$ und $H_l\in\L _l$ gilt: $\mbox{\rm ad}_{F_m}{}^j\left(H_l\right)\in\L _{l+j\left(m-2\right)}$. Für $j=1$ und $l=2,3,\ldots$ hat man also $l+j(m-2)=l+m-2=m,m+1,\ldots$, und mit $j>1$ und $l\geq 2$ ergibt sich wegen $m\geq 3$: $l+j(m-2)\geq m+1$. Damit erhalten wir:

$$\begin{eqnarray*} G_2+G_3+\cdots & = & \left( \mbox{\rm id}_{2n}+\mbox{\rm ad}... ...eft(\vert{\mbox{\protect\boldmath$z$}}\vert^{m+1}\right)} \quad. \end{eqnarray*}$$

Diese Gleichung muß bereits Grad für Grad erfüllt sein, und es folgt für die Summanden der Grade 2 bis $m$ der neuen Hamilton-Funktion:

in vollständiger Analogie zu Gl. (1.18), so daß sich auch die dortigen Schlußfolgerungen (i)-(iii) übertragen und die Konstruktion einer Normalisierungsprozedur ermöglichen.

Die Hamilton-Funktion $\H$ sei bis zum Grad $m-1$ in Gustavson-Normalform. Die Transformation (1.64) ergibt wegen Gl. (1.65a) eine neue Hamilton-Funktion $G$, die ebenfalls in Normalform bis mindestens zum Grad $m-1$ ist. Unter Berücksichtigung von Gl. (1.65b) können wir durch eine geeignete Wahl von $F_m$ außerdem erreichen, daß $G$ sogar in Normalform bis zum Grad $m$ ist. Mit $\mbox{\rm ad}_{F_m}(H_2)=-\mbox{\rm ad}_{H_2}(F_m)$ erhalten wir aus Gl. (1.65b) die Gleichung

zu lösen ist. Analog zur Situation in Abschnitt 1.1 sind $\H_m$ und ${\cal A}_m$ gegeben; $F_m$ und $G_m$ sind gesucht. $\mbox{Ker}\left({\cal A}_m\right)$ ist der Kern des Operators ${\cal A}_m$:

$$\quad \mbox{Ker}\left(A_m\right) = \left\{ P\in\L _m \Big\vert {\cal A}_m(P)=0 \right\} \quad.$$ (1.47)

Ebenso wie in der Normalformentheorie für Vektorfelder haben wir also eine homologische Gleichung (1.66a) zu lösen. Aus den bekannten $\H_m$ und ${\cal A}_m$ sind die Grad $m$-Polynome $G_m$ und $F_m$ zu bestimmen. Die Lösung gelingt mit Hilfe der Zerlegung von $\L _m$ in die direkte Summe des Kernes und des Bildes von ${\cal A}_m$:

$$\quad \L _m = \mbox{Ker}\left({\cal A}_m\right) \oplus \mbox{Im}\left({\cal A}_m\right) \quad.$$ (1.48)

$H_m\in\L _m$ kann also in eindeutiger Weise in seinen Kern- und Bildanteil aufgespalten werden:

$$H_m = H_m' + H_m''$$ (1.49)

mit

$$\quad \begin{array}{lcl} H_m' & \in & \mbox{Ker}\left({\c... ...'' & \in & \mbox{Im}\left({\cal A}_m\right) \quad, \end{array}$$ (1.50)

so daß wir zur Lösung der homologischen Gleichung

genügt. $F_m$ ist nur bis auf einen Summanden aus dem Kern von ${\cal A}_m$ bestimmt und damit im allgemeinen nicht eindeutig.

Wir weisen jetzt die Gültigkeit der Zerlegung (1.68) nach und zeigen im Verlauf des Beweises auch, wie ein Urbild von $H_m''$ unter ${\cal A}_m$ gefunden werden kann. Für ${\cal A}_m$ gilt

$$\quad {\cal A}_m(\cdot) = \left\{ \cdot,H_2 \right\} <tex2html_comment_mark>426$$

$$= \sum_{\nu=1}^n \omega_\nu\left( p_\nu\frac{\partial}{\partial q_\nu} - q_\nu\frac{\partial}{\partial p_\nu} \right) (\cdot) \quad.$$ (1.50)

Zur Vereinfachung dieses Ausdruckes verwenden wir die kanonische Transformation $({\mbox{\protect\boldmath$q$}},{\mbox{\protect\boldmath$p$}}) \mapsto (\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$q$}}},\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$p$}}})$:

$$\begin{array}{rcl} \quad \tilde{{\mbox{\protect\boldmath$... ...$p$}}-i{\mbox{\protect\boldmath$q$}}\right) \quad. \end{array}$$ (1.51)

Gl. (1.72) gibt ${\cal A}_m$ in den Koordinaten $({\mbox{\protect\boldmath$q$}},{\mbox{\protect\boldmath$p$}})$ an. Wir bezeichnen mit $\tilde{{\cal A}}_m$ die Darstellung von ${\cal A}_m$ in den neuen Koordinaten $(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$q$}}},\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$p$}}})$ und erhalten unter Berücksichtigung von $\frac{\partial}{\partial q_\nu} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\partial} {\partial\tilde{q}_\nu}-i\frac{\partial}{\partial\tilde{p}_\nu}\right)$ und $\frac{\partial}{\partial p_\nu} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\partial} {\partial\tilde{p}_\nu}-i\frac{\partial}{\partial\tilde{q}_\nu}\right)$:

$$\quad \tilde{{\cal A}}_m = \left. \sum_{\nu=1}^n i\omega... ...}{\partial\tilde{p}_\nu} \right) \right\vert _{\L _m} \quad.$$ (1.52)

Die Anwendung von $\tilde{{\cal A}}_m$ auf einen der Basisvektoren $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$q$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\bold... ...mbox{\protect\boldmath$p$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$k$}}$ (mit ${\mbox{\protect\boldmath$j$}},{\mbox{\protect\boldmath$k$}}\in{\bf N}_0^n$ und $\vert{\mbox{\protect\boldmath$j$}}\vert+\vert{\mbox{\protect\boldmath$k$}}\vert=m$) von $\L _m$ ergibt

$$\quad \tilde{{\cal A}}_m\left( \tilde{{\mbox{\protect\boldmath$q$... ...otect\boldmath$p$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$k$}} \right) = i \sum_{\nu=1}^n \omega_\nu \left( j_\nu-k_\nu \right) \tilde{{\m... ...mbox{\protect\boldmath$p$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$k$}}$$

$$= i \left( {\mbox{\protect\boldmath$\omega$}},{\mbox{\protect\boldm... ...rotect\boldmath$p$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$k$}} \quad,$$ (1.53)

wobei $(\cdot,\cdot)$ für das kanonische Skalarprodukt im ${\bf R}^n$ steht: $({\mbox{\protect\boldmath$a$}},{\mbox{\protect\boldmath$b$}})=\sum_{i=1}^n a_ib_i$.

Die letzte Gleichung ist eine Eigenwertgleichung mit dem Eigenvektor $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$q$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\bold... ...mbox{\protect\boldmath$p$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$k$}}$ zum Eigenwert $i \left( {\mbox{\protect\boldmath$\omega$}},{\mbox{\protect\boldmath$j$}}-{\mbox{\protect\boldmath$k$}} \right)$. Demnach können wir den Kern und das Bild von $\tilde{{\cal A}}_m$ angeben als die lineare Hülle derjenigen $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$q$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\bold... ...mbox{\protect\boldmath$p$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$k$}}$, für die der Eigenwert null bzw. von null verschieden ist:

$$\quad \begin{array}{lcl} \mbox{Ker}\left(\tilde{{\cal A}}... ...\boldmath$k$}}) \neq 0 \right\} \quad. \\ [0.2cm] \end{array}$$ (1.54)

Weil die $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$q$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\bold... ...mbox{\protect\boldmath$p$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$k$}}$ eine Basis von $\L _m$ bilden, beweist Gl. (1.76) die Zerlegung

$$\quad \L _m = \mbox{Ker}\left(\tilde{{\cal A}}_m\right) \oplus \mbox{Im}\left(\tilde{{\cal A}}_m\right) \quad.$$ (1.55)

und damit auch Gl. (1.68).

Gl. (1.76) zeigt auch, wie man die Zerlegung von $\H_m$ gemäß Gl. (1.69) findet und wie das für Gl. (1.71b) benötigte Urbild von $H_m''$ bestimmt werden kann. Dazu muß zunächst $\H_m$ auf die Variablen $(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$q$}}},\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$p$}}})$ transformiert werden:

$$\quad \tilde{H}_m(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$q$}}},\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$p$}}}) = H_m \Big( {\mbox{\protect\boldmath$q$}}(\tilde{{\mbox{\protect\bo... ...lde{{\mbox{\protect\boldmath$q$}}},\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$p$}}}) \Big)$$

$$= \sum_{ \vert{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}}\ve... ...rotect\boldmath$p$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$k$}} \quad,$$ (1.56)

mit neuen Koeffizienten $\tilde{h}_{{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}}{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$k$}}}$. Dann gilt offensichtlich:

$$\quad \begin{array}{lclcl} \tilde{H}_m' & = & \displaysty... ...n& \mbox{Im}\left(\tilde{{\cal A}}_m\right) \quad, \end{array}$$ (1.57)

und wir müssen für $\tilde{G}_m$ und $\tilde{F}_m$ wählen:

$$\quad \tilde{G}_m = \tilde{H}_m'$$

$$\tilde{F}_m = \displaystyle \tilde{{\cal A}}_m^{-1}\left(\tilde{H}_m''\right) =... ...rotect\boldmath$p$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$k$}} \quad.$$ (1.58)

Wiederum ist zwar $\tilde{G}_m$ eindeutig festgelegt, nicht aber $\tilde{F}_m$. Schließlich erhält man die gesuchten $G_m$ und $F_m$ mit Hilfe der Transformation (1.73): $G_m = \tilde{G}_m \Big( \tilde{{\mbox{\protect\boldmath$q$}}}({\mbox{\protect\b... ...ldmath$p$}}}({\mbox{\protect\boldmath$q$}},{\mbox{\protect\boldmath$p$}}) \Big)$ und $F_m = \tilde{F}_m \Big( \tilde{{\mbox{\protect\boldmath$q$}}}({\mbox{\protect\b... ...ldmath$p$}}}({\mbox{\protect\boldmath$q$}},{\mbox{\protect\boldmath$p$}}) \Big)$.

Insgesamt haben wir den folgenden Satz bewiesen:

Satz 1.2   Jede Hamilton-Funktion $H({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ in Gestalt einer formalen Potenzreihe (1.41), deren Term niedrigster Ordnung die Form (1.61) hat, kann durch eine formale kanonische Transformation in eine äquivalente Hamilton-Funktion $G({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ mit

$$G = \Big[ \cdots \circ \exp\left(\mbox{\rm ad}_{F_4}\right) \circ \exp\left(\mbox{\rm ad}_{F_3}\right) \Big] \; (H)$$ (1.59)

und $F_m\in\L _m$ transformiert werden, die in Gustavson-Normalform ist.

Dieser Satz wurde schon von Gustavson in [Gu66] angegeben. Allerdings ist Gustavsons Darstellung erheblich schwerfälliger, weil sie nicht auf der Theorie der Lie-Transformationen beruht, sondern für die kanonischen Transformationen erzeugende Funktionen vom $F_2$-Typ (vgl. [Go80]) verwendet. In der Formulierung, die in der vorliegenden Arbeit benutzt wird, findet sich Satz 1.2 beispielsweise auch in [St91].

Fußnoten

... kann.^1.7

Für ein autonomes Hamilton-System, und auf solche beschränken wir uns hier, ist offensichtlich schon ein erstes Integral bekannt: die Hamilton-Funktion selbst.