Formale Integrale und Quasiintegrale der Bewegung

Die wesentliche Motivation zur Einführung der Gustavson-Normalform war die Suche nach einem weiteren Integral der Bewegung, das man sich in der Tat mit der Gustavsonschen Theorie in Gestalt von $\tilde{H}_2(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}})$ verschaffen konnte. Mit $\tilde{H}_2(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}})$ ist hier der quadratische Anteil der durch die Transformation ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}\mapsto\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}$ auf Normalform gebrachten Hamilton-Funktion gemeint. In [Gu66] wird gezeigt, daß eine Hamilton-Funktion mit einem quadratischen Anteil vom Gustavson-Typ (1.61) über $\tilde{H}_2(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}})$ hinaus noch weitere unabhängige Integrale der Bewegung^1.9besitzen kann.

Genauer gilt folgende Aussage: Wir betrachten eine Hamilton-Funktion, die in Gustavson-Normalform ist und deren Frequenzen $\omega_\nu$ in $r$-facher Resonanz sind, mit $0\leq r<n$. Das heißt, die Frequenzen genügen $r$ linear unabhängigen Kommensurabilitätsbedingungen

$$\sum_{\nu=1}^r a_{\mu\nu} \omega_\nu = 0 \;, \quad \mu=1,2,\ldots,r$$ (1.74)

mit ganzzahligen Koeffizienten $a_{\mu\nu}\in{\bf Z}$. Man kann die $(a_{\mu\nu})$ als Einträge einer $(r,n)$-Matrix $A$ auffassen, die vollen Rang $r$ hat und

$$A{\mbox{\protect\boldmath$\omega$}} = {\bf0}$$ (1.75)

erfüllt. Dann gibt es genau $n-r$ unabhängige formale Integrale der Bewegung, und diese können in der Gestalt

$$I_{\rm G}({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) = \sum_{\nu=1}^n \frac{\alpha_\nu}{2} \left(z_\nu^2+z_{n+\nu}^2\right)$$ (1.76)

angegeben werden, wobei ${\mbox{\protect\boldmath$\alpha$}}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)^T\in{\bf R}^n$ ein beliebiger Vektor ist, der

$$A{\mbox{\protect\boldmath$\alpha$}}={\bf0}$$ (1.77)

erfüllt. Formal sind diese Integrale deswegen, weil hier über die Konvergenzeigenschaften der sie darstellenden Potenzreihen keine Aussage gemacht wird. Vgl. die nachfolgende Diskussion auf S. .

Diese Aussage ist eine direkte Folge der Tatsache, daß $H({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ in Gustavson-Normalform ist: Zum Beweis untersucht man den Ausdruck $\left\{H,I_{\rm G}\right\}$ in den ,,diagonalisierenden`` Phasenraumkoordinaten $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}$ aus Gl. (1.73). Es zeigt sich dann sofort, daß diese Poisson-Klammer genau dann verschwindet, wenn die $\alpha_\nu$ der Bedingung (1.103) genügen.

Für eine Hamilton-Funktion in DFS-Normalform stellt sich die Situation nicht mehr so überschaubar dar. In Analogie zur Gustavsonschen Theorie liegt es nahe zu vermuten, daß $H_2^*$, welches in der DFS-Theorie die Rolle von $H_2$ übernimmt, ein Integral der Bewegung sei. Dies gilt aber nicht, denn es ist

$$\left\{H,H_2^*\right\} = \sum_{l\geq2} {\cal A}_l^*(H_l)$$

$$= {\cal A}_2^*(H_2)$$

$$= \left\{ H_2,H_2^* \right\} \quad.$$ (1.78)

Die letzte Poisson-Klammer verschwindet im allgemeinen nicht. Hier zeigt sich die Bedeutung der Tatsache, daß die die DFS-Normalform definierende Gleichung (1.89) nicht für $l=2$ erfüllt sein muß.

Bei der Untersuchung von sogenannten magnetischen Flaschen (vgl. Kapitel 2) sind Hamilton-Funktionen mit

$$H_2({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) = \sum_{\nu=1}^l \frac{1... ...=l+1}^n \frac{\omega_\nu}{2} \left(z_\nu^2+z_{n+\nu}^2\right)$$ (1.79)

von großer Bedeutung. Für dieses $H_2$ ergibt sich $\left\{ H,H_2^* \right\} = \sum_{\nu=1}^l z_\nu z_{n+\nu} \neq 0$. Dragt und Finn [DrFi79] fanden aber auch in dieser Situation ein weiteres Integral der Bewegung, falls $H({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ in DFS-Normalform ist:

$$\quad I_{\rm DF}({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) = \sum_{\... ... \frac{\omega_\nu}{2} \left(z_\nu^2+z_{n+\nu}^2\right) \quad.$$ (1.80)

In Abschnitt 4.1.1 werden wir dieses Resultat mit den Methoden der DFS-Theorie herleiten.

Über die speziellen, von Gustavson (Gl. (1.61)) bzw. Dragt und Finn (Gl. (1.105)) betrachteten Hamilton-Funktionen hinaus gibt es weitere Funktionen in ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}$, die als quadratische Anteile $H_2({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ von Potenzreihen-Hamilton-Funktionen auftreten können^1.10. Die Verallgemeinerung des Dragt-Finnschen Resultates auf ein beliebiges dieser $H_2({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ gelingt mit Hilfe einer geeigneten Zerlegung von $L$. Wir gehen von der allgemein gültigen Darstellung (1.95) des quadratischen Anteils der Hamilton-Funktion aus:

$\parbox{11.5cm}{ \begin{displaymath} \quad H_2({\mbox{\protect\bol... ...ldmath$\cdot$}J^{-1}L {\mbox{\protect\boldmath$z$}} \quad. \end{displaymath}}$ $\parbox{1.5cm}{ \hfill (\ref{H2Darstellung}) }$

$H_2$ und damit auch ${\cal A}_m$ werden durch die $(2n,2n)$-Matrix $L$ eindeutig festgelegt. Wir spalten $L$ mit Hilfe der Jordan-Chevalley-Zerlegung [Hu87] in einen (über ${\bf C}$) diagonalisierbaren Anteil $D$ und einen nilpotenten Anteil $N$ auf:

$$\quad L = D + N \quad.$$ (1.81)

Nach dem Satz über die Jordansche Normalform (1.2) sind die Existenz und Eindeutigkeit dieser Zerlegung klar, wenn man in Gl. (1.2) $A:=L$ setzt und

$$D = X \left( \begin{array}{@{}c@{}c@{}} \begin{array}{@{}c... ...ambda_k \end{array} \end{array} \right) , \quad k=1,\ldots,r$$

bzw.

$$N = X \left( \begin{array}{@{}c@{}c@{}} \begin{array}{@{}c... ...] 0 & \cdots & & 0 \end{array} \right) , \quad k=1,\ldots,r$$

wählt. Offensichtlich ist $N$ nilpotent: Es gibt eine Zahl $n_0\in{\bf N}_0$, so daß $N^{n_0}=0$ ist ($n_0\leq 2n$). In Verallgemeinerung von Gl. (1.106) definieren wir als den ,,diagonalisierbaren Anteil`` von $H_2$:

$$\quad I_{\rm DFS}({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) = \frac{1... ...\boldmath$\cdot$}J^{-1}D {\mbox{\protect\boldmath$z$}} \quad.$$ (1.82)

Es gilt der

Satz 1.4 (Stegemerten)   : Für eine Hamilton-Funktion $H({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ in DFS-Normalform ist der diagonalisierbare Anteil $I_{\rm DFS}$ (1.108) des quadratischen Termes von $H({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ ein formales Integral der Bewegung.

Ein Beweis des Satzes findet sich in [St91,MeHa92]. Man weist wieder für alle $m\geq 2$ das Verschwinden von $\left\{H_m,I_{\rm DFS}\right\}$ nach, wobei die Nilpotenz von $N$ und des entsprechenden Lie-Operators $D_{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$z$}}(\cdot)\mbox{\protect\boldmath$\cdot$}N{\mbox{\protect\boldmath$z$}}$ ausgenutzt wird.

In Anhang A benutzen wir die Galinsche Klassifizierung der quadratischen Hamilton-Funktionen, um für (fast) alle Hamilton-Funktionen aus $\L$ die entsprechenden Integrale $I_{\rm DFS}$ zu bestimmen.

An dieser Stelle zeigt sich noch einmal ein Charakteristikum der Normalformentheorie: Es werden Aussagen über Elemente des hochdimensionalen Vektorraumes $\L _m$ gemacht, wobei vor allem Eigenschaften des im Vergleich zu $\L _m$ niedrigdimensionalen ${\bf R}^{2n}$ in die Argumentation eingehen. Konkret heißt dies bei der Bestimmung von Integralen der Bewegung, daß lediglich die Jordan-Chevalley-Zerlegung einer $(2n,2n)$-Matrix gefunden werden muß, um aus der in Normalform befindlichen Hamilton-Funktion ein Integral der Bewegung zu bestimmen, dessen Grad $m$-Anteile Elemente des ${2n+m-1 \choose 2n-1 }$-dimensionalen Raumes $\L _m$ sind. Eine entsprechende Eigenschaft macht man sich auch bei der Transformation auf Normalform zunutze: Um den Grad, bis zu dem sich die Hamilton-Funktion in Normalform befindet, um eins zu erhöhen, muß man Elemente des hochdimensionalen Vektorraumes $\L _m$ manipulieren. Diese Aufgabe wird dadurch vereinfacht, daß die wesentlichen Gleichungen (1.91) und (1.93) Strukturen (von $L$ bzw. $L^*$) in dem nur $2n$-dimensionalen Vektorraum ${\bf R}^{2n}$ betreffen.

Ein zweiter wichtiger Punkt, der an dieser Stelle nicht außer acht gelassen werden darf, ist die Tatsache, daß sowohl $I_{\rm G}({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ als auch $I_{\rm DFS}({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ lediglich formale Integrale der Bewegung darstellen. Zwar kann man jede Hamilton-Funktion in Potenzreihengestalt in DFS-Normalform überführen, indem man Grad für Grad homologische Gleichungen löst und entsprechend Lie-transformiert. Daß aber das Resultat dieser sukzessiven Transformationen für $m\to\infty$ konvergiert, ist keineswegs sichergestellt. Beispielsweise kann im Falle eines nichtintegrablen Systems mit zwei Freiheitsgraden der Bewegung die Normalform-Transformation nicht konvergieren, weil man sonst ein zweites Integral der Bewegung erhielte. Dessen Existenz ist aber für ein nichtintegrables System gerade ausgeschlossen.

Wir gehen an dieser Stelle noch auf den Begriff des Quasiintegrals ein. Selbst in dem Fall, daß die Transformation der Hamilton-Funktion auf Normalform konvergiert, werden wir in der Praxis die Berechnung der Normalform und damit auch des Integrals bei einem endlichen Grad $m$ abbrechen, weil die homologische Gleichung für jeden Grad neu gelöst werden muß und man in der Regel kein allgemeines, für alle $m$ gültiges Transformationsgesetz findet. Deshalb erhalten wir nur eine Approximation $G^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$,

$$\quad G^{(m)} = \exp(\mbox{\rm ad}_{F_m}) \exp(\mbox{\rm ... ...m-1}}) \cdots \exp(\mbox{\rm ad}_{F_3}) \left(H\right) \quad,$$ (1.83)

die bis zum Grad $m$ in Normalform ist. Im Grenzübergang $m\to\infty$ erhielte man die vollständig normalisierte Hamilton-Funktion

$$\quad G^{(\infty)} = \lim_{m\to\infty} G^{(m)} = \cdots \... ...rm ad}_{F_4}) \exp(\mbox{\rm ad}_{F_3}) \left(H\right) \quad.$$ (1.84)

Es gilt

$$\quad G^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) = G^{(\infty)... ...(\vert{\mbox{\protect\boldmath$z$}}\vert^{m+1}\right)} \quad,$$ (1.85)

denn die Normalisierung für größere Grade als $m$ ändert die Terme mit dem Grad $l\leq m$ nicht mehr. Die Rücktransformation des diagonalisierbaren Anteils von $H_2({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ auf die ursprünglichen Koordinaten^1.11ergibt dann, unter Ausnutzung der Formel (1.57) für die Inverse einer Lie-Transformation,

$$\begin{array}{rcl} \quad I_{\rm DFS}^{(m)}({\mbox{\protec... ...{\protect\boldmath$z$}}\vert^{m+1}\right)} \quad. \end{array}$$ (1.86)

Dementsprechend kann das praktisch berechnete Integral der Bewegung $I_{\rm DFS}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ nur konstant bis auf Terme der Ordnung $m+1$ sein, wenn die Hamilton-Funktion lediglich bis zum Grad $m$ auf Normalform gebracht wurde.

Gl. (1.112) verdeutlicht, daß das formale Integral $I_{\rm DFS}^{(\infty)}({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ bzw. die entsprechenden Quasiintegrale $I_{\rm DFS}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ im allgemeinen eine sehr komplizierte algebraische Struktur aufweisen, im Gegensatz zur Darstellung (1.108) des Integrals als quadratisches Polynom in den Koordinaten $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}$. Diese Komplizierung ist bedingt durch die (unendlich vielen) bei der Rücktransformation benötigten Lie-Transformationen $\exp(\mbox{\rm ad}_{-F_k})$.

Bei der Berechnung von Quasiintegralen für konkrete Beispielsysteme -- in den Kapiteln 4 und 5 -- wird sich zeigen, daß die Oszillation des Quasiintegrals aufgrund des Fehlerterms ${{\cal O}\left(\vert{\mbox{\protect\boldmath$z$}}\vert^{m+1}\right)}$ in Gl. (1.112) schon für kleine Werte von $m$ unbedeutend werden kann. Andererseits ist es auch möglich, daß der Fehlerterm selbst für kleine $\vert{\mbox{\protect\boldmath$z$}}\vert$ und größere $m$ dominiert und $I_{\rm DFS}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ somit nicht annähernd konstant wird. Welcher dieser Fälle eintritt, hängt von der Chaotizität des relevanten Gebietes des Phasenraumes ab. Wir werden uns diesem Problem in Kapitel 4 zuwenden.

Selbst im Fall der Nichtkonvergenz der Normalformtransformation stellen aber die niedrigsten Terme der Normalform in der Regel ein sehr nützliches Hilfsmittel zur Analyse des Phasenportraits dar und ermöglichen die Untersuchung von periodischen Orbits, invarianten Tori und deren Bifurkationen [ShRe82,Ro84].

Fußnoten

... Bewegung^1.9

Nach [ChLe84] sind $k$ Funktionen $H({\mbox{\protect\boldmath$z$}})\!\!=\!\!I_1({\mbox{\protect\boldmath$z$}}),I_2({\mbox{\protect\boldmath$z$}}),\ldots, I_k({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ voneinander unabhängige Integrale der Bewegung, wenn ihre Gradienten $D_{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$z$}}I_i({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$, $i=1,\ldots,k$ auf einer offenen und dichten Teilmenge des Phasenraumes linear unabhängig sind und wenn die $I_i({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ jeweils paarweise in Involution sind, d. h. wenn ihre Poisson-Klammern verschwinden:

$$\quad \left\{ I_i,I_j \right\} = 0 \quad \mbox{f\uml {u}r alle} \quad 1\leq i,j\leq k \quad.$$

... können^1.10

Die vollständige Klassifizierung der Normalformen quadratischer Hamilton-Funktionen geht auf D. M. Galin zurück und wird beispielsweise in [Ar89, Anhang 6] diskutiert. Man vergleiche auch Anhang A.

... Koordinaten^1.11

Bisher haben wir die Transformation $\exp(\mbox{ad}_{F_m})$ von einem ,,aktiven`` Standpunkt aus betrachtet und sie als eine Transformation interpretiert, die bei festliegendem Koordinatensystem eine Hamilton-Funktion in eine andere transformiert. Man kann aber auch eine ,,passive`` Position einnehmen, und den Vorgang als eine Koordinatentransformation bei unveränderter Hamilton-Funktion ansehen. Dieser zweite Standpunkt wird der gewöhnliche sein, wenn man für ein gegebenes System ein (näherungsweises) Integral der Bewegung berechnen will. In diesem Licht betrachtet ist es klar, daß das gefundene Integral schließlich auf die ursprünglichen Koordinaten umzurechnen ist.