Die Normalformtransformation

Der quadratische Anteil von $H_{\rm BG}$ ist

$$H_2(\rho,z,p_\rho,p_z) = \frac{1}{2} \left(\rho^2+p_\rho^2+p_z^2\right)$$ (4.1)

-- wir lassen den Index ${}_{\rm BG}$ für den Rest dieses Abschnitts zur Vereinfachung fort. Auch die anderen beiden in Kapitel 2 vorgestellten Modellsysteme sind von diesem Typ.

Wir setzen

$$\quad {\mbox{\protect\boldmath$z$}} = \left( \begin{array}... ...\\ [-0.1cm] p_z \\ [-0.1cm] p_\rho \end{array} \right) \quad.$$ (4.2)

Diese Zuordnung bedeutet eine Vertauschung der $\rho$- und der $z$-Komponenten gegenüber Gl. (3.19) in Kapitel 3. Wir ziehen im vorliegenden Kapitel 4 die in Gl. (4.2) verwendete Definition vor, weil sie der in der Literatur über magnetische Flaschen [DrFi79,St91] üblichen Notation entspricht.

$H_2$, ausgedrückt in den neuen Koordinaten $z_i$, nimmt dann die folgende Form an:

$$\quad H_2(z_1,z_2,z_3,z_4) = \frac{1}{2} \left( z_2^2+z_3^2+z_4^2 \right) \quad.$$ (4.3)

Anstatt aber diese zweidimensionale Hamilton-Funktion zu diskutieren, gehen wir für die folgenden Überlegungen zu der Verallgemeinerung (1.105) von Gl. (4.3) über [DrFi79]:

$$\quad H_2({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) = \sum_{\nu=1}^l ... ... \frac{\omega_\nu}{2} \left(z_\nu^2+z_{n+\nu}^2\right) \quad.$$ (4.4)

Für $l=1$, $n=2$ und $\omega_2=1$ erhalten wir hieraus wieder Gl. (4.3).

Wir nennen ein $\H$, dessen quadratischer Anteil die Form (4.4) mit $l\geq1$ hat, eine Magnetflaschen-Hamilton-Funktion. Selbstverständlich bleibt aber dieser Typ von Hamilton-Funktion nicht nur den magnetischen Flaschen vorbehalten. Die Benennung deutet lediglich an, daß die in der Theorie der magnetischen Flaschen auftretenden Hamilton-Funktionen typischerweise die in Gl. (4.4) beschriebene Gestalt annehmen -- zum Beispiel haben alle drei in Kapitel 2 vorgestellten Modellsysteme Hamilton-Funktionen dieses Typs. Anschaulich beschreiben die ersten $l$ Summanden des Magnetflaschen-$H_2$ eine (in niedrigster Ordnung) freie Bewegung, wogegen die restlichen $n-l$ Summanden harmonische Oszillatoren mit der Frequenz $\omega_\nu$ darstellen.

Magnetflaschen-Hamilton-Funktionen können nicht mit der Gustavsonschen Normalformentheorie untersucht werden, denn die wesentliche Voraussetzung (1.61) ist nicht erfüllt: Um dieser Voraussetzung zu genügen, müßte $l=0$ sein, und diesen Fall schließen wir hier gerade aus. Erst mit der DFS-Theorie wird demnach der Normalformenkalkül auf die hier betrachtete Systemklasse anwendbar.

Die in den Abschnitten 1.2.2 und 1.2.3 diskutierte Transformation auf DFS-Normalform muß an dieser Stelle nicht mehr ausführlich beschrieben werden. Zur Erinnerung wiederholen wir hier nur diejenigen Aspekte, die sich bei der praktischen Durchführung als problematisch erweisen. Bei jedem Schritt der Normalformtransformation müssen wir zur Lösung der homologischen Gleichung $G_m=H_m-{\cal A}_m(F_m)$ den Grad $m$-Anteil $\H_m$ der Hamilton-Funktion $H=\sum_{k\geq 3}H_k$ in die Summe

Die Lie-Transformation, die die alte Hamilton-Funktion $\H$ in die neue Hamilton-Funktion $G$ transformiert, wobei $G$ in DFS-Normalform bis zum Grad $m$ ist, lautet dann

zu bestimmenden Erzeugenden $F_m$.

Bei der Bestimmung eines Urbildes $F_m$ von $H_m''$ handelt es sich um ein nichttriviales Problem. Man hat hier zwar ,,nur`` ein lineares Gleichungssystem zu lösen, was beispielsweise mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren immer gelingt, aber die Dimension des Problems ist sehr groß: $\dim\L _m={2n+m-1 \choose 2n-1}$. Man hat demnach Hunderte oder sogar Tausende von linearen Gleichungen gleichzeitig zu erfüllen. Dies stellt bis heute auch für die mächtigsten Systeme der symbolischen Computer-Algebra ein schwieriges Problem dar, denn die Invertierung einer $(d,d)$-Matrix benötigt typischerweise ${\cal O}(d^3)$ Rechenoperationen [St89]. Andererseits wollen wir um der Rechengenauigkeit willen kein numerisches Näherungsverfahren (Iterationsverfahren) verwenden. Im folgenden stellen wir ein Verfahren dar, mit dem wir den Rechenaufwand für die Invertierung von ${\cal A}_m$ drastisch reduzieren können, indem wir die spezielle Struktur des Problems ausnutzen und es auf ein wesentlich einfacheres zurückführen. Damit können wir Gl. (4.6b) vergleichsweise schnell und sehr genau lösen und somit die Normalformtransformation durchführen.

Für die Darstellung des Differentialoperators ${\cal A}_m$ gemäß Gl. (1.91) benötigen wir als erstes die Hamilton-Matrix $L$:

$$L = J\; \mbox{Hess}\left(H_2({\mbox{\protect\boldmath$z$}})\right)$$

$$= \left( \begin{array}{cc} 0_n&\fbox{$\displaystyle \begin{array}{@... ...cm] 0 & & \cdots & & 0 & -\omega_n \end{array}$}& 0_n \end{array}\right) \quad.$$ (4.3)

Um mit dieser unhandlichen $(2n,2n)$-Matrix besser arbeiten zu können, transformieren wir sie auf eine einfachere Gestalt. Vor einer ähnlichen Aufgabe standen wir schon einmal, in Abschnitt 1.2.2. Dort galt es, die Zerlegung (1.68) des Vektorraumes $\L _m$ nachzuweisen, was durch die Transformation (1.73) gelang, die den Differentialoperator ${\cal A}_m$ im Rahmen der Gustavson-Theorie diagonalisiert. ${\cal A}_m$ wurde mittels Gl. (1.73) auf Diagonalgestalt gebracht, weil diese Transformation die Hamilton-Matrix $L$ diagonalisierte, und ${\cal A}_m$ gemäß Gl. (1.91) direkt aus $L$ hervorgeht: ${\cal A}_m(\cdot)=D_{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$z$}}(\cdot)\mbox{\protect\boldmath$\cdot$}L{\mbox{\protect\boldmath$z$}}$.

Wir übertragen diese Idee jetzt auf die magnetischen Flaschen. Im allgemeinen ist nicht zu erwarten, daß $L$ diagonalisierbar ist. Wir können $L$ aber immer in Jordansche Normalform (in ihrer komplexen Version) überführen. $L$ und damit auch ${\cal A}_m$ werden dadurch in einem gewissen Sinne so einfach wie möglich, so daß sich diese Transformation als erster Schritt der Analyse anbietet.

Zunächst entkoppeln wir $L$ in einen Anteil, der dem Gustavsonschen $H_2$ entspricht (gekennzeichnet durch die Frequenzen $\omega_\nu$), und in den Anteil der freien Bewegung, der durch die $\frac{1}{2}p_\nu^2$-Anteile der Hamilton-Funktion beschrieben wird. Dafür verwenden wir die $(2n,2n)$-Permutationsmatrix $P$:

$$\quad P = \left( \begin{array}{c} {\mbox{\protect\boldmat... ...ots \\ [-0.1cm] 2n \end{array} \right) \in{\bf N}^{2n} \quad;$$ (4.4)

die ${\mbox{\protect\boldmath$e$}}_i$ sind die kanonischen Basisvektoren des ${\bf R}^{2n}$. Man überzeugt sich leicht davon, daß Linksmultiplikation einer $(2n,2n)$-Matrix $L$ mit $P$ die Zeilen von $L$ in der folgenden Weise vertauscht: Die $i_1$-te Zeile wird zur ersten Zeile, die $i_2$-te Zeile wird zur zweiten Zeile usw. Rechtsmultiplikation von $L$ mit $P^T$ bewirkt entsprechend die Permutation der Spalten von $L$.

Die Anwendung von $P$ auf die Hamilton-Matrix $L$ ergibt:

Die damit erreichte Entkopplung der Anteile $\tilde{N}$ und $\tilde{D}$ von $\tilde{L}$ erleichtert die Jordanisierung von $L$ erheblich, weil nun beide Teilmatrizen $\tilde{N}$ und $\tilde{D}$ getrennt auf Jordansche Normalform gebracht werden können. Auf die Matrix $\tilde{N}$ muß dazu lediglich eine weitere Zeilen- und Spaltenpermutation angewandt werden, um die Einsen in die erste Nebendiagonale zu verschieben. $\tilde{D}$ wird durch eine zu Gl. (1.73) analoge Transformation diagonalisiert. Wir erhalten:

Insgesamt gilt dann für die Jordan-Normalform der Hamilton-Matrix $L$

die $L$ in $\tilde{\tilde{L}}$ überführt. Die unitäre Matrix $M$ geht durch Transposition und komplexe Konjugation aus $M^*$ hervor: $M=P^TX$.

Wie Gl. (4.10b) zeigt, sind der nilpotente Anteil von $\tilde{\tilde{L}}$ durch die Matrizen $\left(\protect\begin{array}{@{}c@{\hspace*{0.1cm}} c@{}}0&1\\ [-0.1cm]0&0\protect\end{array}\right)$ und der diagonalisierbare Anteil durch die Eigenwerte $\pm i\omega_\nu$ gekennzeichnet. Dementsprechend haben wir für den diagonalisierbaren Anteil $D$ und den nilpotenten Anteil $N$ von $L$:

gefunden haben.

Mit Gl. (4.12a) ist dann auch der Nachweis erbracht, daß das von Dragt und Finn gefundene $I_{\rm DF}$ (siehe Gl. (1.106)) wirklich ein Integral der Bewegung für in DFS-Normalform befindliche Magnetflaschen-Hamilton-Funktionen ist, denn es gilt:

$$I_{\rm DFS}({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) = \frac{1}{2} {\mbox{\protect\boldmath$z$}}\mbox{\protect\boldmath$\cdot$}\left( J^{-1}D{\mbox{\protect\boldmath$z$}} \right)$$

$$= \frac{1}{2} {\mbox{\protect\boldmath$z$}}\mbox{\protect\boldmath$... ...dots,0,\omega_{l+1},\ldots,\omega_n \Big) {\mbox{\protect\boldmath$z$}} \right)$$

$$= \sum_{\nu=l+1}^n \frac{\omega_\nu}{2} \left(z_\nu^2+z_{n+\nu}^2\right)$$ (4.1)

$$= I_{\rm DF}({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) \quad.$$

Das formale Integral der Brown-Gabrielse-Magnetflasche ist demnach

$$\quad I_{\rm BG}({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) = \frac{1}... ...z_4^2\right) = \frac{1}{2}\left(\rho^2+p_\rho^2\right) \quad.$$ (4.2)

Wenn man lediglich an dem Integral der Bewegung für Magnetflaschen interessiert wäre, dann wären die oben dargestellten langwierigen Umformungen unnötig, denn einerseits kann man der Matrix $\tilde{L}$ schon fast ,,ansehen``, wie ihr diagonalisierbarer Anteil beschaffen ist -- auf diese Weise wird das Integral $I_{\rm DF}$ beispielsweise in [St91] gefunden. Andererseits könnte man auch die Ergebnisse des Anhanges A anwenden und damit $I_{\rm BG}$ sofort aus der Hamilton-Funktion (4.4) ablesen, ohne $L$ überhaupt berechnen zu müssen.

Unabhängig von der Bestimmung des DFS-Integrals ist aber die durch $M$ gegebene Koordinatentransformation ein nützliches Hilfsmittel für die Invertierung von ${\cal A}_m$, die für die Lösung von Gl. (4.6b) benötigt wird. Dies wird deutlich, wenn man die Transformation

$${\mbox{\protect\boldmath$z$}} \mapsto \tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}} = M^*{\mbox{\protect\boldmath$z$}}$$ (4.3)

durchführt. Der Operator ${\cal A}_m$, den wir in den neuen Koordinaten $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}$ mit $\tilde{{\cal A}}_m$ bezeichnen, ist nach dieser Transformation sehr viel einfacher, weil $L$ durch (4.15) in das einfachere $\tilde{\tilde{L}}$ überführt wird.

Wir notieren ${\cal A}_m$ zunächst in den alten Koordinaten ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}$:

$${\cal A}_m(\cdot) =\!\!\! \left\{ \cdot,H_2({\mbox{\protect\boldmath$z$}}) \right\} \Big\vert _{\L _m}$$

$$=\!\!\! \left [\sum_{\nu=1}^l z_{n+\nu} \frac{\partial}{\partial z_\nu}(\... ...\frac{\partial}{\partial z_{n+\nu}}(\cdot) \right) \right]_{\L _m} \!\!. \qquad$$ (4.4)

Die Anwendung der Transformation (4.15) ergibt dann nach einer Rechnung, die völlig analog zu der Berechung von $\tilde{{\cal A}}_m$ in Gl. (1.74) verläuft:

$$\tilde{{\cal A}}_m = \left[ \sum_{\nu=1}^l \tilde{z}_{2\n... ...rtial}{\partial\tilde{z}_{n+\nu}} \right) \right]_{\L _m} \;.$$ (4.5)

Durch (4.15) ist mit $L$ auch ${\cal A}_m$ ,,so weit wie möglich diagonalisiert`` worden, wie man der zweiten Summe entnehmen kann. Wir gehen auf Seite anhand eines Beispiels genauer auf diese Eigenschaft von $\tilde{{\cal A}}_m$ ein.

Um uns ein genaueres Bild von der Wirkungsweise von $\tilde{{\cal A}}_m$ zu verschaffen, wenden wir den Operator auf einen der Basisvektoren $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}}$ von $\L _m$ an:

$$\quad \tilde{{\cal A}}_m\left(\tilde{{\mbox{\protect\boldm... ...$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}} \quad.$$ (4.6)

Wir interpretieren für das Folgende die Basisvektoren $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}}$ von $\L _m$ als die kanonischen Basisvektoren des ${\bf C}^d$ mit $d={2n+m-1 \choose 2n-1}$ und sehen dementsprechend $\tilde{{\cal A}}_m$ als die $(d,d)$-Matrix, die die Elemente von ${\bf C}^d$ gemäß Gl. (4.18) abbildet. Der Einfachheit halber bezeichnen wir also den Differentialoperator $\tilde{{\cal A}}_m$ und seine Matrixdarstellung mit dem gleichen Symbol $\tilde{{\cal A}}_m$. Gl. (4.18) besagt dann, daß der zweite Summand den Eintrag $\sum_{\nu=l+1}^n i\omega_\nu \left(j_{\nu+l}-j_{\nu+n}\right)$ auf der Diagonalen der Matrix ergibt, wohingegen der erste Summand mehrere von null verschiedene Außerdiagonalkomponenten von $\tilde{{\cal A}}_m$ zur Folge hat.

Bevor wir $\tilde{{\cal A}}_m$ weiter analysieren können, müssen wir noch festlegen, in welcher Reihenfolge die Monome $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}}$ den kanonischen Basisvektoren des ${\bf C}^d$ zugeordnet werden. Wir können diese Zuordnung beliebig wählen. Dabei ist zu beachten, daß eine geeignete Zuordnung die Matrixdarstellung von $\tilde{{\cal A}}_m$ entscheidend vereinfachen kann. Aus [Gu66] ist die Gustavson-Anordnung der Monome $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}}$ bekannt: ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}^{\bf0}\equiv 1$ bekommt den Gustavson-Index $k({\mbox{\protect\boldmath$z$}}^{\bf0})=1$. Für ${\mbox{\protect\boldmath$j$}},{\mbox{\protect\boldmath$l$}}\in{\bf N}_0^{2n}$ definiert man $k({\mbox{\protect\boldmath$z$}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j... ...mbox{\protect\boldmath$z$}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$l$}})$, wenn es ein $i_0>0$ gibt, so daß $j_{i_0}>l_{i_0}$ und $j_i=l_i$ für alle $0<i<i_0$ gilt. Mit dieser Abbildungsvorschrift erhält man einen bijektiven Zusammenhang zwischen den Monomen $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}}$ aus $\L$ und den natürlichen Zahlen $k$. Für die Monome vom Grad $0<m<4$ haben wir diese Zuordnung in Tabelle 4.1 angegeben. (Außer dem Gustavson-Index $k$ ist dort auch der ,,Magnetflaschenindex`` $\kappa$ tabelliert, den wir weiter unten einführen werden.)

Tabelle 4.1: Gustavson-Index $k({\mbox{\protect\boldmath$z$}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}})$ und Magnetflaschenindex $\kappa({\mbox{\protect\boldmath$z$}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}})$ der Monome ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}}$ vom Grad 0 bis 4 ($n=2$).

	${\mbox{\protect\boldmath$j$}}^T$		$k({\mbox{\protect\boldmath$z$}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}})$		$\kappa({\mbox{\protect\boldmath$z$}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}})$			${\mbox{\protect\boldmath$j$}}^T$		$k({\mbox{\protect\boldmath$z$}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}})$		$\kappa({\mbox{\protect\boldmath$z$}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}})$
	(0,0,0,0)		1		1			(0,0,0,4)		36		36
	(0,0,0,1)		2		2			(0,0,1,3)		37		37
	(0,0,1,0)		3		3			(0,0,2,2)		38		38
	(0,1,0,0)		4		4			(0,0,3,1)		39		39
	(1,0,0,0)		5		5			(0,0,4,0)		40		40
	(0,0,0,2)		6		6			(0,1,0,3)		41		41
	(0,0,1,1)		7		7			(0,1,1,2)		42		43
	(0,0,2,0)		8		8			(0,1,2,1)		43		45
	(0,1,0,1)		9		9			(0,1,3,0)		44		47
	(0,1,1,0)		10		11			(0,2,0,2)		45		49
	(0,2,0,0)		11		13			(0,2,1,1)		46		52
	(1,0,0,1)		12		10			(0,2,2,0)		47		55
	(1,0,1,0)		13		12			(0,3,0,1)		48		58
	(1,1,0,0)		14		14			(0,3,1,0)		49		62
	(2,0,0,0)		15		15			(0,4,0,0)		50		66
	(0,0,0,3)		16		16			(1,0,0,3)		51		42
	(0,0,1,2)		17		17			(1,0,1,2)		52		44
	(0,0,2,1)		18		18			(1,0,2,1)		53		46
	(0,0,3,0)		19		19			(1,0,3,0)		54		48
	(0,1,0,2)		20		20			(1,1,0,2)		55		50
	(0,1,1,1)		21		22			(1,1,1,1)		56		53
	(0,1,2,0)		22		24			(1,1,2,0)		57		56
	(0,2,0,1)		23		26			(1,2,0,1)		58		59
	(0,2,1,0)		24		29			(1,2,1,0)		59		63
	(0,3,0,0)		25		32			(1,3,0,0)		60		67
	(1,0,0,2)		26		21			(2,0,0,2)		61		51
	(1,0,1,1)		27		23			(2,0,1,1)		62		54
	(1,0,2,0)		28		25			(2,0,2,0)		63		57
	(1,1,0,1)		29		27			(2,1,0,1)		64		60
	(1,1,1,0)		30		30			(2,1,1,0)		65		64
	(1,2,0,0)		31		33			(2,2,0,0)		66		68
	(2,0,0,1)		32		28			(3,0,0,1)		67		61
	(2,0,1,0)		33		31			(3,0,1,0)		68		65
	(2,1,0,0)		34		34			(3,1,0,0)		69		69
	(3,0,0,0)		35		35			(4,0,0,0)		70		70

Mit den Gustavson-Indizes ist dann eine Anordnung der Monome in $\L _m$ gegeben, die wir zum Beispiel verwenden können, um $\tilde{{\cal A}}_m$ in Matrixgestalt zu schreiben. Als ein Beispiel geben wir die Matrixdarstellung von $\tilde{{\cal A}}_3$ im Fall $n=2$, $l=1$ an. Für diesen Wert von $n$ ist $d=\mbox{dim}(\L _3)={6 \choose 3}=20$. Wir verwenden hier die Abkürzung $\omega:=\omega_2$ und schreiben Nullen, die nicht auf der Diagonalen liegen, nicht aus:

$$\tilde{{\cal A}}_3 = \left(% \providecommand{\ce} [1]{\mbo... ...m] &&&&&&&&&&&&&&&&&&&\mbox{$\;0\;$} \end{array} \right) \;.$$ (4.7)

Man vergleiche diese Matrix, die nur sehr wenige von null verschiedene Einträge abseits der Hauptdiagonalen aufweist, mit der Formel (4.16) für ${\cal A}_3$ in den ursprünglichen Koordinaten ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}$. Gl. (4.16) impliziert, daß kein Eintrag der Matrix, die ${\cal A}_m$ darstellt, auf der Diagonalen liegt. Dagegen haben wir durch die Transformation (4.15) fast alle Einträge auf der Diagonalen von $\tilde{{\cal A}}_m$ versammelt.

Darüber hinaus ist $\tilde{{\cal A}}_m$ für alle $n$, $l$ und $m$ eine rechte obere Dreiecksmatrix, wenn man die Gustavsonsche Monom-Indizierung zugrunde legt. Man erkennt diese Eigenschaft anhand von Gl. (4.18). Der zweite Summand in dieser Gleichung ergibt einen Beitrag auf der Diagonalen von $\tilde{{\cal A}}_m$, wie wir schon früher erkannt haben. Der erste Summand führt auf Beiträge der Form

$$j_{2\nu-1} \frac{\tilde{z}_{2\nu}}{\tilde{z}_{2\nu-1}}\tild... ...dmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$l$}}$$

mit

$$\quad {\mbox{\protect\boldmath$l$}} = \Big( j_1,\ldots,j_{... ...\nu-1}-1,j_{2\nu}+1, j_{2\nu+1},\ldots,j_{2n} \Big)^T \quad,$$

so daß gilt:

$$\quad k(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\prote... ...}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}}) \quad.$$

Obwohl demnach $\tilde{{\cal A}}_m$ eine Dreiecksmatrix ist, können wir das lineare Gleichungssystem (4.6b) nicht einfach durch gewöhnliches Rückwärtseinsetzen lösen, indem wir zuerst die $(2n)$-te Gleichung lösen, dann die $(2n-1)$-te usw. Denn die Diagonalelemente der Matrix sind nicht sämtlich von null verschieden, was während des Rückwärtseinsetzens dazu führt, daß man einige Komponenten des Lösungsvektors wählen muß. Erst bei nachfolgenden Schritten des Verfahrens erweist sich dann, ob diese Wahl sinnvoll war oder zu Widersprüchen führt^4.1. Es kann also a priori kein konsistentes Lösungsverfahren für eine Matrix der hier vorliegenden Form angegeben werden, wenn man nicht wie beim Gaußschen Verfahren eliminieren möchte. Dies wollen wir wegen des erforderlichen großen Aufwandes aber gerade vermeiden.

Die Lösung des Problems gelingt durch die Einführung einer anderen Anordnung der Monome von $\L _m$. Wir nennen diese Variation der Gustavsonschen Zuordnung die Magnetflaschenanordnung der Monome von $\L _m$, weil sie dem Operator $\tilde{{\cal A}}_m$, der sich aus einer Magnetflaschen-Hamilton-Funktion ergibt, angepaßt ist.

Die dem Folgenden zugrunde liegende Idee besteht darin, daß die Lösung einer linearen Gleichung $\tilde{{\cal A}}_m(F_m)=H_m''$ einfach und mit geringem Aufwand gelingt, wenn die einzigen von null verschiedenen Einträge der $(d,d)$-Matrix $\tilde{{\cal A}}_m$ auf der Haupt- und der ersten oberen Nebendiagonalen liegen. In diesem Fall kann man die einzelnen Gleichungen durch ein dem Rückwärtseinsetzen ähnliches Verfahren mit sehr wenigen (nämlich ${\cal O}(d)$) Rechenoperationen lösen, ohne daß dabei Inkonsistenzen auftreten können. Wir gehen hier nicht näher auf dieses Verfahren ein, denn obwohl es sehr einfach ist, wäre seine Darstellung an dieser Stelle wenig instruktiv. Wie wir sehen werden, nimmt $\tilde{{\cal A}}_m$ für die Magnetflaschenanordnung der Monome $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}}$ die beschriebene Gestalt an, so daß wir das Problem der Invertierung von $\tilde{A}_m$ bzw. der Lösung von Gl. (4.6b) einfach und schnell lösen können.

Diese Vorgehensweise hat allerdings den Nachteil, daß wir uns bei der Einführung der Magnetflaschen-Anordnung auf den Fall $l=1$ beschränken müssen. Für $l=1$ erhalten wir aus Gl. (4.18)

$$\quad \tilde{{\cal A}}_m\left(\tilde{{\mbox{\protect\boldm... ...$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}} \quad.$$ (4.8)

Der den Gustavson-Index $k(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}})$ ersetzende Magnetflaschenindex $\kappa(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}})$ wird durch die folgende Konstruktionsvorschrift definiert:

1. Für Monome vom Grad $m$ beginnt man jeweils mit ${\mbox{\protect\boldmath$j$}}=(0,\ldots,0,m)^T$ und setzt
   

   $$\quad \kappa(\tilde{z}_{2n}^m)=\dim\L _0+\dim\L _1+\cdots+\dim\L _{m-1}+1 \quad,$$ (4.9)

   
   
   ebenso wie bei den Gustavsonschen Indizes $k$.
2. 1. Der Nachfolger $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$l$}}$ des Monoms $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}}$ (d.h. $\kappa(\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\prote... ...x{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}})+1$) wird ebenso bestimmt wie bei Gustavson, es sei denn, es gilt $j_2\neq0$; in diesem Fall gehen wir zu Punkt 2b über.
   2. Wenn $j_2\neq0$ ist, dann definieren wir den Nachfolger von $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}}$ als $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$l$}}$ mit ${\mbox{\protect\boldmath$l$}}=(j_1+1,j_2-1,j_3,\ldots,j_{2n})^T$. Dieser Punkt 2b wird solange wiederholt, bis $j_2=0$ ist. Dann gehen wir zurück zu Punkt 2a und verwenden dort als Ausgangspunkt dasjenige ${\mbox{\protect\boldmath$j$}}$, das beim letzten Übergang von Punkt 2a nach Punkt 2b übergeben wurde.

Es kommt natürlich vor, daß man nach der Regel 2a ein Monom erhält, das schon vorher gemäß Regel 2b eingeordnet wurde. In diesem Fall geht man sofort zum (im Gustavsonschen Sinn) nachfolgenden Monom über und wendet wieder Regel 2a an.

Auf diese Weise erhält man eine gegenüber Gustavson abgewandelte Anordnung der Monome. Der Zusammenhang zwischen $\tilde{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}}^{\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$j$}}$ und $\kappa$ ist bijektiv, wie wir es zu fordern haben. Man vergleiche Tabelle 4.1 für eine Gegenüberstellung der $k$- und $\kappa$-Indizes der Monome vom Grad 0 bis 4.

Wie wir es beabsichtigt haben, liegt die Wirkung der zusätzlich eingeführten Regel 2b darin, daß bei Verwendung der Magnetflaschenanordnung alle Außerdiagonalelemente von $\tilde{{\cal A}}_m$ auf der ersten oberen Nebendiagonalen zu liegen kommen. Wir demonstrieren diese Eigenschaft wiederum anhand von $\tilde{{\cal A}}_3$. Bei Verwendung der Magnetflaschenindizes gilt:

$$\tilde{{\cal A}}_3 = \left(% \providecommand{\ce} [1]{\mbo... ...&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\mbox{$\,\;0\,\;$} \end{array} \right) \;.$$ (4.10)

Man vergleiche diese Matrix mit der Darstellung in Gl. (4.19).

Mit dem in dieser Gestalt vorliegenden $\tilde{{\cal A}}_m$ ist es nun vergleichsweise einfach, die für die Normalformtransformation entscheidende Gl. (4.6b) zu lösen und die Erzeugende $F_m$ zu bestimmen. Darüber hinaus bietet die Darstellung von $\tilde{{\cal A}}_m$ mittels der Magnetflaschenanordnung noch in einer anderen Hinsicht einen wesentlichen Vorteil: In dieser Darstellung ist es besonders einfach, eine Basis der Untervektorräume $\mbox{Ker}\left({\cal A}_m^*\right)$ und $\mbox{Im}\left({\cal A}_m\right)$ zu berechnen^4.2. Wir benötigen diese Basen, um den Grad $m$-Anteil $\H_m$ der Hamilton-Funktion gemäß Gl. (4.5) aufspalten zu können -- eine unabdingbare Voraussetzung für die Aufstellung und Lösung der homologischen Gleichung.

Wir haben jetzt die für eine effiziente Normalisierung von $H({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ benötigten Hilfsmittel bereitgestellt. Wir merken an dieser Stelle noch einmal an, daß der Durchführung der Normalformtransformation auch dann nichts im Wege steht, wenn die in diesem Abschnitt gemachten Annahmen (Magnetflaschen-Hamilton-Funktion, $l=1$) nicht zutreffen. Man muß dann aber, bedingt durch die hohe Dimension von $\L _m$, großen numerischen Aufwand in Kauf nehmen, den wir hier vermeiden konnten.

Schließlich stellen wir fest, daß die in diesem Abschnitt besprochene Problematik im Fall der Gustavsonschen Normalform irrelevant ist. Das Gustavsonsche $H_2$ stellt den Grenzfall des Magnetflaschen-$H_2$ mit $l=0$ dar. Wenn $l=0$ ist, dann ist $\tilde{{\cal A}}_m$ schon diagonal, wie wir in Abschnitt 1.2.2 gesehen haben. Sowohl die Invertierung von $\tilde{{\cal A}}_m$ als auch die Zerlegung von $\L _m$ in Kern- und Bildvektorraum von ${\cal A}_m$ sind dann vergleichsweise triviale Aufgaben. Man vergleiche hierzu die Gln. (1.79) und (1.80).

Fußnoten

... führt^4.1

Ein Beispiel für diese Problematik findet sich in Gl. (4.19). Wenn man durch Rückwärtseinsetzen die Gleichung $\tilde{{\cal A}}{\mbox{\protect\boldmath$f$}}={\mbox{\protect\boldmath$h$}}$ lösen will, hat man im ersten Schritt $f_{20}$ willkürlich zu wählen. Im darauffolgenden Schritt muß die Gleichung $0\cdot f_{19}+3\cdot f_{20}=h_{19}$ erfüllt sein. Ob diese Gleichung tatsächlich gilt, hängt aber offensichtlich von (dem vorher gewählten) $f_{20}$ ab.

... berechnen^4.2

Die Berechnung einer Basis von $\mbox{Im}(\tilde{{\cal A}}_m)$ gelingt beispielsweise durch die Anwendung des Schmidtschen Orthonormierungsverfahrens [Fi86] auf die Spaltenvektoren von $\tilde{{\cal A}}_m$.