Symmetrien und Reversibilität

Weil $V_{\rm BG}$ nur quadratisch von $\rho$ und $z$ abhängt, ist $V_{\rm BG}$ symmetrisch bezüglich der $\rho$- und der $z$-Achse:

$$\begin{array}{rcl} V_{\rm BG}(\rho,z) & = & V_{\rm BG}(\rh... ..._{\rm BG}(\rho,z) & = & V_{\rm BG}(-\rho,z) \quad. \end{array}$$ (3.12)

Wir nutzen jetzt diese Eigenschaften des Potentials zur Charakterisierung des durch $H_{\rm BG}$ beschriebenen Hamilton-Systems aus.

Aus der Hamilton-Funktion $H_{\rm BG}(\rho,z,p_\rho,z)=\frac{1}{2}\left(p_\rho^2+p_z^2\right) +V_{\rm BG}(\rho,z)$ ergeben sich die folgenden kanonischen Gleichungen:

$$\begin{array}{lcl} \dot{\rho} & = & p_\rho \\ [0.2cm] \do... ... -\frac{\partial V_{\rm BG}}{\partial z} (\rho,z) \end{array}$$ (3.13)

bzw.

$$\dot{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}} = {\mbox{\protect\boldm... ...tial V_{\rm BG}}{\partial z}(\rho,z) \\ \end{array} \right)$$ (3.14)

in der Schreibweise von Abschnitt 1.1.2. Dabei haben wir ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}=(z_1,\ldots,z_4)\in{\bf R}^4$ gesetzt mit

$$\begin{array}{rcl} z_1 & = & \rho \\ [0.2cm] z_2 & = & z ... ...= & p_\rho \\ [0.2cm] \quad z_4 & = & p_z \quad. \end{array}$$ (3.15)

Nach [Mo73] nennt man ein vierdimensionales dynamisches System $\dot{{\mbox{\protect\boldmath$z$}}} = {\mbox{\protect\boldmath$F$}}({\mbox{\protect\boldmath$z$}})$ reversibel, wenn es eine lineare Abbildung $R:{\bf R}^4\to{\bf R}^4$ gibt, für die gilt:

Die Abbildung $R$ wird als Reflexion bezeichnet. Die Bedeutung der Eigenschaft (3.20b) liegt darin, daß mit ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}(t)$ auch $R{\mbox{\protect\boldmath$z$}}(-t)$ eine Lösung von Gl. (3.18) ist, denn es gilt:

$$\quad \frac{\displaystyle d}{\displaystyle dt}\left(R{\mbox... ...ath$F$}}\left(R{\mbox{\protect\boldmath$z$}}(-t)\right) \quad.$$ (3.15)

Wir beschränken uns hier auf Reflexionen der Form

$$R = \mbox{diag}\;(r_1,r_2,r_3,r_4)$$

mit reellen $r_i$. Gl. (3.20a) zieht dann $r_i=\pm1$ nach sich, und aus Gl. (3.20b) und den Hamiltonschen Gleichungen (3.18) folgt $r_3=-r_1$, $r_4=-r_2$. Außerdem ergibt sich

(3.16)

weil $V_{\rm BG}$ ein Polynom ist, in dem $\rho$ und $z$ nur quadratisch auftreten. Es folgt, daß die folgenden vier $R_i$ Reflexionen für das Brown-Gabrielse-System sind:

$$\begin{array}{rcl} \quad R_1 & = & \mbox{diag}\;(1,1,-1,-... ...[0.2cm] R_4 & = & \mbox{diag}\;(-1,-1,1,1) \quad. \end{array}$$ (3.17)

$R_1$ beschreibt die Zeitumkehrsymmetrie: Eine Trajektorie im Ortsraum, in umgekehrter Richtung durchlaufen, ist wiederum eine gültige Trajektorie. Denn $R_1$ läßt die Ortskoordinaten gleich und ändert die Vorzeichen der Impulse. Dieser Sachverhalt wird in Abbildung 3.6a skizziert.

$R_2$ und $R_3$ sind Reflexionssymmetrien, die die Symmetrie des Potentials bzgl. der $\rho$- und der $z$-Achse wiederspiegeln. $R_2$ entspricht im Konfigurationsraum der Spiegelung der Trajektorie an der $\rho$-Achse und zusätzlicher Zeitumkehr; entsprechendes gilt für $R_3$ und die $z$-Achse. Abbildung 3.6b veranschaulicht $R_3$. Bei $R_4$ handelt es sich schließlich um eine Punktspiegelung am Ursprung des Konfigurationsraumes.

Wir haben damit gefunden, daß mit der Lösung

Lösungen der kanonischen Gleichungen sind.

Durch Kombination zweier Reflexionen kann man weitere Lösungen der kanonischen Gleichungen erhalten. Es sei ${\mbox{\protect\boldmath$z$}}(t)$ eine Lösung von Gl. (3.18). Wir konstruieren daraus mit Hilfe von Gl. (3.21) die neue Lösung $R_i{\mbox{\protect\boldmath$z$}}(-t)$, wobei $R_i,i=1,\ldots,4$ eine der Reflexionen aus Gl. (3.23) ist. Die nochmalige Anwendung der Reversibilitätsbedingung (3.20b) mit $R_j$ ergibt dann die weitere Lösung $R_jR_i{\mbox{\protect\boldmath$z$}}(t)$. Eine neue Lösung dieses Typs zeichnet sich gegenüber der in Gl. (3.21) beschriebenen Lösung $R_i{\mbox{\protect\boldmath$z$}}(-t)$ dadurch aus, daß wir hier keine Zeitumkehr vorzunehmen haben. $R_jR_i{\mbox{\protect\boldmath$z$}}(t)$ beschreibt also eine Trajektorie, die man durch Anwendung der Flußabbildung $\Phi_t$ in positiver Zeitrichtung erhält.

Es gibt sechs Möglichkeiten, jeweils zwei $R_i$ miteinander zu kombinieren:

$$\quad \begin{array}{ccccl} R_1 R_2 & = & R_3 R_4 & = & \m... ... & R_2 R_3 & = & \mbox{diag}\;(-1,-1,-1,-1) \quad. \end{array}$$ (3.17)

Dementsprechend treten Trajektorien im Phasenraum immer als 4-Tupel von simultanen Lösungen dieses Typs auf:

Für die praktische Analyse des Systems sind die hier angesprochenen Symmetrieeigenschaften sehr nützlich. Sie ermöglichen es, den numerischen Aufwand für die Berechnung der im nachfolgenden Abschnitt zu besprechenden Poincaré-Schnitte erheblich zu reduzieren.