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Das Potential
Die Hamilton-Funktion der Brown-Gabrielse-Magnetflasche
haben wir in Gl. (2.33) angegeben. Wir beschränken uns
im folgenden auf den in Abschnitt 2.2 diskutierten Fall
; die Analyse des Falles verliefe
vollständig analog zu den Untersuchungen des vorliegenden Kapitels. Die
im folgenden betrachtete Hamilton-Funktion lautet demnach:
|
(3.1) |
beschreibt ein Teilchen mit zwei Freiheitsgraden
der Bewegung.
Hierbei ist zu beachten, daß die Koordinate im Gegensatz zu
keine gewöhnliche
kartesische Koordinate ist, sondern den Abstand von der -Achse
bezeichnet.
Deshalb kann eigentlich nicht negativ werden.
Es ist aber trotzdem sinnvoll, negative -Werte zuzulassen,
weil auch dann wie eine gewöhnliche kartesische Koordinate
behandelt werden kann.
Um dieses Vorgehen zu verdeutlichen, betrachten wir eine Trajektorie, die
zur Zeit die -Achse durchläuft: . Wegen der Wahl
in Gl. (2.28) sind solche Trajektorien möglich,
denn nur im Fall
verhindert der Term
in der Hamilton-Funktion (2.16) das Erreichen der
-Achse. Wir untersuchen, wie sich der Winkel mit der Zeit
ändert. Zunächst folgt, unter Berücksichtigung der Gln. (2.21,2.25,2.11) und von
Tabelle 2.1,
somit ist für stetig. Für
ist aber nicht definiert. Hier sind zwei Fälle zu
unterscheiden: Entweder ist
, dann bleibt das Teilchen
für alle Zeiten auf der -Achse und bewegt sich frei, weil in der
Hamilton-Funktion alle Terme bis auf
verschwinden.
Oder aber es gilt
. Dann schneidet das Teilchen die
-Achse, und macht einen Sprung um , ist also nicht
stetig in . Diesem
,,Durchpendeln`` durch die -Achse tragen wir dadurch Rechnung, daß
wir negative -Werte zulassen.
In Abbildung 3.1 veranschaulichen wir diese
Verallgemeinerung von .
Damit können wir
als die Hamilton-Funktion eines Systems mit zwei Freiheitsgraden der
Bewegung in - und -Richtung ansehen, bei dem die Koordinate
keinen besonderen Beschränkungen mehr unterliegt.
Wir zerlegen die Hamilton-Funktion (2.33) in die Summe
ihres kinetischen Anteils und eines Potentials
,
|
(3.2) |
mit
und wenden uns im folgenden der Untersuchung dieses Potentials zu.
Abbildung 3.2 zeigt die Äquipotentiallinien von
.
Das Potential ist positiv semidefinit. Die Berechnung der kritischen
Punkte von durch Nullsetzen des Gradienten
|
(3.4) |
ergibt zwei Sattelpunkte
mit der Potentialhöhe
. Außerdem sind auch
die Punkte
der drei durch
beschriebenen Kurven kritische Punkte; auf diesen drei eindimensionalen
Mannigfaltigkeiten hat das Potential den Wert null.
Wir untersuchen zunächst, inwiefern die Bezeichnung des durch Gl. (3.1)
beschriebenen Systems als magnetische ,,Flasche`` gerechtfertigt ist.
Unterabschnitte
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Martin_Engel
2000-05-25