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Potenzreihenentwicklung der Størmer-Hamilton-Funktion
Die in Dipolarkoordinaten formulierte Hamilton-Funktion des
Størmer-Problems kann so, wie sie in den Gln. (2.60) und (2.61) angegeben ist,
|
(C.1) |
(mit der durch Gl. (2.53) festgelegten Funktion
),
noch nicht mit den Methoden der Normalformentheorie untersucht werden,
weil sie nicht als Potenzreihe vorliegt. Deswegen zeigen wir in diesem
Anhang, wie die zu den Gln. (2.60) und
(2.61) bzw. zu Gl. (C.1) gehörende
Potenzreihenentwicklung (2.62) in den Variablen ,
, und berechnet werden kann.
Wir orientieren uns dabei an der in [CoVl75] gegebenen
Darstellung, wo die Entwicklung allerdings nur bis zur sechsten
Ordnung durchgeführt wird. Dagegen gehen wir hier
bis zur zwölften Ordnung.
Zunächst suchen wir einen Ausdruck für
als Funktion
von und .
Durch Kombination von
(2.53a) und (2.53b) erhalten wir
|
(C.2) |
eine implizite Gleichung für
. Wir könnten sie
als Gleichung vierten Grades in
ansehen und mit Hilfe
der bekannten allgemeinen Lösungsformeln (vgl. [BrSe85, S. 133])
nach
auflösen. Eine solche Lösung läge aber nicht in
Gestalt eines Polynoms in und vor -- denn sie
enthielte zum Beispiel Wurzelausdrücke -- was im Hinblick auf die
Potenzreihenentwicklung von Gl. (C.1)
nachteilig wäre: Die auftretenden Wurzeln müßten ihrerseits
entwickelt werden.
Deswegen werden wir Gl. (C.2) von vornherein
näherungsweise lösen. Dazu setzen wir an:
wobei das Symbol
wieder andeuten soll, daß wir alle Summanden
mit einem Totalgrad vernachlässigen.
Diesen Ansatz setzen wir in Gl. (C.2) ein und bestimmen
die durch Koeffizientenvergleich.
Für haben wir
und Gl. (C.2) ergibt damit
so daß wir gefunden haben, daß in niedrigster Ordnung
gilt. Wie man sieht, zieht diese Vorgehensweise eine vergleichsweise
triviale, aber langwierige und fehleranfällige Arbeit nach sich,
so daß wir es vorgezogen haben, sie mit Hilfe von MATHEMATICA
[Wo91], einem Programm zur symbolischen Manipulation
mathematischer Ausdrücke, auszuführen. Das Ergebnis der Entwicklung
bis zur zwölften Ordnung einschließlich ist
|
(C.3) |
Analog zur obenstehenden Vorgehensweise berechnen wir ebenfalls eine
Näherung
für
, indem wir zunächst aus den Gln. (2.53a) und (2.53b)
|
(C.4) |
folgern, wieder durch Koeffizientenvergleich nach
auflösen und dieses schließlich zur
dritten Potenz erheben. Das Resultat ist:
|
(C.5) |
Schließlich gilt nach dem verallgemeinerten binomischen Satz für
und :
Nun können wir die einzelnen Bestimmungsstücke gemäß Gl. (C.1) ausmultiplizieren und
erhalten die gesuchte Potenzreihenentwicklung der Størmerschen Hamilton-Funktion:
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Martin_Engel
2000-05-25