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Potenzreihenentwicklung der Størmer-Hamilton-Funktion

Die in Dipolarkoordinaten formulierte Hamilton-Funktion des Størmer-Problems kann so, wie sie in den Gln. (2.60) und (2.61) angegeben ist,

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\tilde{H}_{\rm S}(q_1,q_2,p_1,p_2)
& =...
...laystyle \frac{q_2^2}{2(q_2+1)^4\sin^6\vartheta} }
\end{array}\end{displaymath} (C.1)

(mit der durch Gl. (2.53) festgelegten Funktion $\vartheta(q_1,q_2)$), noch nicht mit den Methoden der Normalformentheorie untersucht werden, weil sie nicht als Potenzreihe vorliegt. Deswegen zeigen wir in diesem Anhang, wie die zu den Gln. (2.60) und (2.61) bzw. zu Gl. (C.1) gehörende Potenzreihenentwicklung (2.62) in den Variablen $q_1$, $q_2$, $p_1$ und $p_2$ berechnet werden kann. Wir orientieren uns dabei an der in [CoVl75] gegebenen Darstellung, wo die Entwicklung allerdings nur bis zur sechsten Ordnung durchgeführt wird. Dagegen gehen wir hier bis zur zwölften Ordnung.

Zunächst suchen wir einen Ausdruck für $\cos^2\vartheta$ als Funktion von $q_1$ und $q_2$. Durch Kombination von (2.53a) und (2.53b) erhalten wir

\begin{displaymath}
\quad (q_2+1)^4q_1^2(1-\cos^2\vartheta)^4 = \cos^2\vartheta \quad,
\end{displaymath} (C.2)

eine implizite Gleichung für $\cos^2\vartheta$. Wir könnten sie als Gleichung vierten Grades in $\cos^2\vartheta$ ansehen und mit Hilfe der bekannten allgemeinen Lösungsformeln (vgl. [BrSe85, S. 133]) nach $\cos^2\vartheta$ auflösen. Eine solche Lösung läge aber nicht in Gestalt eines Polynoms in $q_1$ und $q_2$ vor -- denn sie enthielte zum Beispiel Wurzelausdrücke -- was im Hinblick auf die Potenzreihenentwicklung von Gl. (C.1) nachteilig wäre: Die auftretenden Wurzeln müßten ihrerseits entwickelt werden. Deswegen werden wir Gl. (C.2) von vornherein näherungsweise lösen. Dazu setzen wir an:

\begin{displaymath}
\quad
\cos^2\vartheta = \sum_{ \begin{array}{c} \scriptsty...
...eft(\vert{\mbox{\protect\boldmath$q$}}\vert^{k}\right)} \quad,
\end{displaymath}

wobei das Symbol ${{\cal O}\left(\vert{\mbox{\protect\boldmath$q$}}\vert^{k}\right)}$ wieder andeuten soll, daß wir alle Summanden $c_{ij}q_1^iq_2^j$ mit einem Totalgrad $i+j\geq k$ vernachlässigen. Diesen Ansatz setzen wir in Gl. (C.2) ein und bestimmen die $c_{ij}$ durch Koeffizientenvergleich. Für $k=3$ haben wir

\begin{displaymath}
\quad
\cos^2\vartheta = c_{20}q_1^2 + c_{11}q_1q_2 + c_{02...
...eft(\vert{\mbox{\protect\boldmath$q$}}\vert^{3}\right)}
\quad,
\end{displaymath}

und Gl. (C.2) ergibt damit

\begin{displaymath}
\quad
q_1^2 = c_{20}q_1^2 + c_{11}q_1q_2 + c_{02}q_2^2 +
...
...eft(\vert{\mbox{\protect\boldmath$q$}}\vert^{3}\right)} \quad,
\end{displaymath}

so daß wir gefunden haben, daß in niedrigster Ordnung

\begin{displaymath}
\cos^2\vartheta = q_1^2 + {{\cal O}\left(\vert{\mbox{\protect\boldmath$q$}}\vert^{3}\right)}
\end{displaymath}

gilt. Wie man sieht, zieht diese Vorgehensweise eine vergleichsweise triviale, aber langwierige und fehleranfällige Arbeit nach sich, so daß wir es vorgezogen haben, sie mit Hilfe von MATHEMATICA [Wo91], einem Programm zur symbolischen Manipulation mathematischer Ausdrücke, auszuführen. Das Ergebnis der Entwicklung bis zur zwölften Ordnung einschließlich ist
\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\cos^2\vartheta & = &
%%***************...
...box{\protect\boldmath$q$}}\vert^{13}\right)} \quad.
\end{array}\end{displaymath} (C.3)

Analog zur obenstehenden Vorgehensweise berechnen wir ebenfalls eine Näherung für $1/\sin^6\vartheta$, indem wir zunächst aus den Gln. (2.53a) und (2.53b)

\begin{displaymath}
q_1^2(q_2+1)^4 = \left( \frac{1}{\sin^2\vartheta} \right)^4 -
\left( \frac{1}{\sin^2\vartheta} \right)^3
\end{displaymath} (C.4)

folgern, wieder durch Koeffizientenvergleich nach ${1/\sin^2\vartheta}$ auflösen und dieses schließlich zur dritten Potenz erheben. Das Resultat ist:


\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
{\displaystyle \frac{1}{\sin^6\vartheta}...
...box{\protect\boldmath$q$}}\vert^{13}\right)} \quad.
\end{array}\end{displaymath} (C.5)

Schließlich gilt nach dem verallgemeinerten binomischen Satz für $\vert q_2\vert<1$ und $l\geq1$:

\begin{displaymath}
\quad (q_2+1)^{-l} = \sum_{k=0}^{12} {-l \choose k} q_2^k +
{{\cal O}\left(\vert q_2\vert^{13}\right)} \quad.
\end{displaymath}

Nun können wir die einzelnen Bestimmungsstücke gemäß Gl. (C.1) ausmultiplizieren und erhalten die gesuchte Potenzreihenentwicklung der Størmerschen Hamilton-Funktion:

$\textstyle \parbox{11.5cm}{
\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\lefteqn{...
...{\protect\boldmath$z$}}\vert^{13}\right)} \quad.
\end{array} \end{displaymath}}$ % latex2html id marker 218327
$\textstyle \parbox{1.5cm}{ \hfill \hspace*{0.5cm}(\ref{StHamEntwicklung}) }$


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Martin_Engel 2000-05-25