Multipolentwicklung des magnetischen Vektorpotentials

In diesem Anhang zeigen wir, daß die Vektorpotentiale

$\parbox{11.5cm}{ \begin{displaymath} \qquad A_l^k(\rho,z) = \left... ...t. \quad. \hspace*{-4.1cm}\mbox{f\uml {u}r} \hspace*{3.8cm} \end{displaymath}}$ $\parbox{1.5cm}{ \hfill (\ref{Alk}) }$

den skalaren Potentialen

$\parbox{11.5cm}{ \begin{displaymath} \Phi_l^k(\rho,z) = \left\{ \b... ...; \begin{array}{l} k=+ \\ [0.2cm] k=- \end{array} \right. \end{displaymath}}$ $\parbox{1.5cm}{ \hfill (\ref{Philk}) }$

entsprechen, daß sie also für $l\geq0$ die Gleichung

$\parbox{11.5cm}{ \begin{displaymath} {\mbox{\protect\boldmath$\nab... ...rotect\boldmath$\nabla$}}\left(a_l^k\Phi_l^k(\rho,z)\right) \end{displaymath}}$ $\parbox{1.5cm}{ \hfill (\ref{RotAlk=-GradPhilk}) }$

erfüllen.

Wir führen den Beweis zunächst für $l\geq1$. Wir nutzen die Definition der zugeordneten Legendre-Polynome,

$$\quad P_l^1(\zeta) = \sqrt{1-\zeta^2}\frac{d}{d\zeta}P_l(\zeta) \quad,$$ (B.1)

aus und erhalten die Rotation von $A_l^\pm{\mbox{\protect\boldmath$e$}}_\varphi$ in Kugelkoordinaten als

$$\begin{eqnarray*} {\mbox{\protect\boldmath$\nabla$}}\times\left(A_l^\pm{\mbox{\... ...l(\cos\vartheta) {\mbox{\protect\boldmath$e$}}_\vartheta \quad. \end{eqnarray*}$$

Der erste Summand läßt sich mit Hilfe der Legendreschen Differentialgleichung,

$$\frac{d}{d\zeta} \left[ \left( 1-\zeta^2 \right) \frac{d}{d\zeta} P_l(\zeta) \right] = -l(l+1)P_l(\zeta) \quad,$$ (B.2)

umformen:

$$\begin{eqnarray*} {\mbox{\protect\boldmath$\nabla$}}\times\left(A_l^\pm{\mbox{\... ...} P_l(\cos\vartheta){\mbox{\protect\boldmath$e$}}_\vartheta \;. \end{eqnarray*}$$

Andererseits gilt

$$-{\mbox{\protect\boldmath$\nabla$}}\Phi_l^\pm = \frac{\partial}{\partial r} \left[ {r^l \choose r^{-l-1}} P_l(\co... ...se r^{-l-1}} P_l(\cos\vartheta) \right] {\mbox{\protect\boldmath$e$}}_\vartheta$$

$$= {lr^{l-1} \choose (-l-1)r^{-l-2}} P_l(\cos\vartheta) {\mbox{\prot... ...ial\vartheta} P_l(\cos\vartheta) {\mbox{\protect\boldmath$e$}}_\vartheta \quad,$$

so daß $\Phi_l^\pm$ und $A_l^\pm$ mit

$$\quad \begin{array}{lcl} b_l^+ & = & {\displaystyle \frac... ...aystyle \frac{1}{l} } a_l^- \end{array} \quad, \quad l\geq 1,$$ (B.3)

der Gl. (2.12) genügen.

Es bleibt noch zu zeigen, daß diese Gleichung auch im Fall $l=0$ erfüllt wird. Für $k=+$ gilt:

$$\quad {\mbox{\protect\boldmath$\nabla$}}\times\left(A_0^+{\... ... = {\bf0} = -{\mbox{\protect\boldmath$\nabla$}}\Phi_0^+ \quad,$$

so daß wir $b_l^+$ beliebig wählen können. Schließlich haben wir für $k=-$:

$$\quad {\mbox{\protect\boldmath$\nabla$}}\times\left(A_0^-(\... ..._r = {\mbox{\protect\boldmath$\nabla$}}\Phi_0^-(\rho,z) \quad,$$

und $A_0^-(\rho,z)$ löst Gl. (2.12) mit $b_0^-=-a_0^-$.