Die Koeffizienten

Neben der Anzahl der Summanden sind die Koeffizienten der Monome der zweite bestimmende Faktor für die Konvergenz der Quasiintegrale.

Für die vier Hamilton-Funktionen gilt:

System	größter Koeffi-	Mittelwert aller	Charakterisierung
	zientenbetrag	Koeff.-Beträge	der Koeffizienten
Hénon-Heiles	1.0	0.555	,,klein``
Brown-Gabrielse	0.5	0.290	,,klein``
Dragt-Finn	0.5	0.425	,,klein``
Størmer	13860	644.2	,,groß``

Das Størmer-System erweist sich auch hier wieder als das ,,schwierigste`` der Modellsysteme.

In Abbildung 5.2 haben wir die Beträge aller Koeffizienten der vier Quasiintegrale als Funktion der Gustavson-Indizes $k$ der entsprechenden Monome aufgetragen.

Dieser Abbildung entnehmen wir zweierlei. Zum einen streuen die Koeffizientenbeträge jedes Quasiintegrals über viele Größenordnungen: typischerweise über sechs, im Fall des Størmer-Systems über zehn Größenordnungen. Dies erschwert die numerische Auswertung erheblich. Zum anderen ist hier, wie auch schon bei $N(m)$, eine steigende Tendenz mit wachsendem $m$ zu erkennen.

Um den zweiten Punkt genauer untersuchen zu können, haben wir die von null verschiedenen Koeffizientenbeträge für jeden Grad $m$ gemittelt. Die so erhaltene Funktion $\overline{\mbox{Koeff}}(m)$ ist in Abbildung 5.3 skizziert.

Abbildung: Mittlere Koeffizientenbeträge beim Grad $m$.

Die steigende Tendenz der Koeffizienten tritt hier deutlich zutage; ein eindeutiger funktionaler Zusammenhang zwischen $m$ und $\overline{\mbox{Koeff}}(m)$ läßt sich allerdings nicht erkennen. Lediglich die Koeffizienten des Størmer-Quasiintegrals scheinen annähernd exponentiell mit $m$ anzuwachsen. Wenn man die Grade 6 bis 12 zugrunde legt, findet man für dieses System:

$$\quad \overline{\mbox{Koeff}}(m) \approx d\,e^{\delta m} \quad\mbox{mit}\quad d=\mbox{konst.},\; \delta = 2.7 \quad.$$ (5.5)

Wir sind nun in der Lage, qualitative Aussagen über das Konvergenzverhalten der Quasiintegrale unserer vier Modellsysteme zu machen. Es ist bekannt, daß alle vier Systeme nichtintegrabel sind. -- Für die Brown-Gabrielse-Flasche haben wir den Nachweis in Kapitel 3 geführt; für die anderen Systeme vergleiche [HeHe64,DrFi79,Se90]. -- Der Nichtintegrabilität entspricht die Divergenz der hier betrachteten Quasiintegrale, die ja im Fall der Konvergenz die entsprechenden zweiten Integrale approximieren würden. Im Rahmen des vorliegenden Kapitels deutet sich die Divergenz der $I^{(m)}$ durch die sehr schnelle Zunahme der Summandenzahl mit $m$ an, die mit dem raschen Anwachsen der Koeffizienten einhergeht.

Vor dem Hintergrund der Untersuchungen in Kapitel 4 fragen wir nach der Möglichkeit, die Quasiintegrale in einer Umgebung des Entwicklungspunktes zur Analyse des Phasenraumes zu verwenden. Für die Brown-Gabrielse-Magnetflasche erwies sich dieser Ansatz ja als sehr fruchtbar. Weil sich nach den Ergebnissen dieses und des vorangehenden Abschnitts für das Dragt-Finn-System ähnliche (sogar ein wenig vorteilhaftere) Eigenschaften wie für die Brown-Gabrielse-Flasche ergeben, nehmen wir an, daß auch die ,,Mirror Machine`` nutzbringend mit den Verfahren aus Kapitel 4 untersucht werden kann.

Das Hénon-Heiles-System stellt sich bezüglich der beiden hier diskutierten Kriterien ungünstiger dar, hat aber den entscheidenden Vorteil, daß der zugängliche Teil des Phasenraumes (bei kleinen Energien) beschränkt und klein ist, so daß die ungünstigere Koeffizientenstruktur mehr als aufgewogen werden kann. In der Tat zeigt die in [St91] beschriebene Analyse der dem Hénon-Heiles-System sehr ähnlichen Penning-Falle positive Resultate, und Gustavson selbst erzeugte für das Hénon-Heiles-System erfolgreich Höhenliniendiagramme von $I_{\rm HH}^{(m)}$ [Gu66]. Bei diesen Analysen wurde der Gustavsonsche Normalformenkalkül zugrunde gelegt.

Das Størmer-System schließlich vereint beide angesprochenen Nachteile in sich. Es besitzt einen ,,offenen`` Phasenraum und hat eine extrem ungünstige Koeffizientenstruktur. Wir erwarten deshalb, daß es relativ schwierig sein wird, dieses System mittels seines Quasiintegrals zu untersuchen.