Konvergenzeigenschaften von $I_{\rm BG}^{(m)}$

Ausgehend von der in Abschnitt 4.2 gemachten Beobachtung, daß die Geschwindigkeit der Divergenz von $I_{\rm BG}^{(m)}(t;{\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ wesentlich vom Startwert ${\mbox{\protect\boldmath$s$}}$ abhängt, quantifizieren wir im folgenden diese Divergenzgeschwindigkeit und stellen das Resultat graphisch als Funktion von ${\mbox{\protect\boldmath$s$}}$ dar.

Zunächst betrachten wir einen einzigen, festen Startwert ${\mbox{\protect\boldmath$s$}}\in\Sigma_E$. Wir gehen davon aus, daß wir zuvor die Quasiintegrale $I_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ der Ordnungen $2\leq m\leq m_{\rm max}$ berechnet haben. Für jedes dieser $m$ berechnen wir jeweils erst den Mittelwert von $I_{\rm BG}^{(m)}(t;{\mbox{\protect\boldmath$s$}})$,

$$\overline{I_{\rm BG}^{(m)}}({\mbox{\protect\boldmath$s$}}) ... ... I_{\rm BG}^{(m)}(t;{\mbox{\protect\boldmath$s$}})\, dt \quad,$$ (4.18)

und dann die Standardabweichung als Maß für die Abweichung von $I_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ von diesem Mittelwert:

$$\sigma_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}}) = \sq... ...m)}}({\mbox{\protect\boldmath$s$}}) \right)^2 \, dt } \quad.$$ (4.19)

Um die zu unterschiedlichen Startwerten ${\mbox{\protect\boldmath$s$}}$ gehörenden Standardabweichungen miteinander vergleichen zu können, führen wir schließlich noch die
normierten Standardabweichungen ein:

$$\quad \eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}}) =... ...ine{I_{\rm BG}^{(m)}}({\mbox{\protect\boldmath$s$}}) } \quad.$$ (4.20)

Diese Größe wird bei den folgenden Überlegungen eine Schlüsselrolle einnehmen. $\eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ mißt die ,,Qualität`` des Quasiintegrals $I_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$: $\eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ ist um so größer, je stärker das Quasiintegral um seinen Mittelwert oszilliert. Dabei werden nicht lediglich die Punkte der Poincaré-Fläche betrachtet, sondern jeweils Mittelwerte über die entsprechenden Trajektorien berücksichtigt. Somit sollten die normierten Standardabweichungen den gesamten Phasenraum in einem ähnlichen Sinn beschreiben, wie dies die Orbits in einem sinnvoll gewählten Poincaré-Schnitt tun.

Da wir uns für Konvergenzfragen interessieren, müssen wir nun untersuchen, wie sich die $\eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ als Funktionen von $m$ verhalten. Über eine gesamte Trajektorie hinweg ist das Quasiintegral $I_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ konvergent (in dem betrachteten $m$-Intervall) , wenn

$$\left\vert \eta_{\rm BG}^{(2m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$... ...t \quad \mbox{f\uml {u}r} \quad 1<m\leq\frac{m_{\rm max}}{2}$$ (4.21)

gilt, anderenfalls ist es divergent.

Bei einem konvergenten Quasiintegral mit dem Startwert ${\mbox{\protect\boldmath$s$}}$ gilt für den Grad $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$, bei dem $\eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ minimal wird: $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})=m_{\rm max}=14$. Im Fall der Divergenz kann $m_0$ einen der Werte $2,4,\ldots,m_{\rm max}-2$ annehmen. In Abbildung 4.11 haben wir eine typische Situation dargestellt.

Bei vielen Werten der Parameter $E$ und ${\mbox{\protect\boldmath$s$}}$ fällt $\eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ mit wachsendem $m$ zunächst ab, um dann wieder anzusteigen -- wegen der schließlich immer eintretenden Divergenz. Offensichtlich beinhaltet $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ eine wesentliche Information über das Konvergenzverhalten von $\eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$. Wir nutzen diese Beobachtung zu einer Verfeinerung des Verfahrens von Kaluza und Robnik: Die Poincaré-Fläche wird wieder in ein Punktegitter zerlegt, und wir bestimmen für jeden der Punkte ${\mbox{\protect\boldmath$s$}}$ dieses Gitters den Grad $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$.

In den Abbildungen 4.12 bis 4.14 haben wir $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ für das Brown-Gabrielse-System farbkodiert aufgetragen.

Der Vergleich der Bilder mit den entsprechenden Poincaré-Schnitten 3.7, 3.9 und 3.12 zeigt, daß diese $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Plots ein erheblich wirklichkeitsgetreueres Bild der Situation zeichnen als die Kaluza-Robnikschen Konvergenzplots.

Abbildung 4.12 skizziert $\Sigma_E$ bei der niedrigen Energie $E=0.01$. Bei dieser Energie sind im Poincaré-Plot noch keine stochastischen Regionen oder Inselketten zu erkennen, und so ist das konvergente (grüne) Gebiet sehr groß. Der Übergang zur Divergenz (rot) geschieht dann schlagartig bei größer werdendem Abstand zum Ursprung. Interessanterweise deutet sich aber im Zentralbereich von $\Sigma_E$ schon divergentes Verhalten des Quasiintegrals an, der Grad $m_0$ mit minimalem $\eta_{\rm BG}^{(m)}$ ist hier nicht mehr $m_{\rm max}$. Außerdem fällt ein schmaler Ring mit $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})=12$ auf, der inmitten der grün-konvergenten Region verläuft. Kündigt sich hier trotz der niedrigen Energie schon das Aufbrechen einer KAM-Linie in eine Poincaré-Birkhoff-Kette an?

In Abbildung 4.13, bei der Energie $E=0.20$, ist die dominante, aus sechs Inseln bestehende Birkhoff-Kette (vgl. Abbildung 3.9) deutlich zu erkennen. Bei diesem $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Plot verwundert vor allem, daß die Umgebung der sechs periodischen Punkte der angesprochenen Inselkette nicht durch einen besonders hohen Wert von $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ ausgezeichnet ist, wie man es für die dortige reguläre Dynamik erwarten würde. $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ hat hier lediglich den Wert 8. Darüber hinaus wird die Inselkette durch ein Band konvergenteren Verhaltens ( $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})=10$) eingeschlossen. Dies ist um so erstaunlicher, als dieses Band in einer stochastischen Region verläuft, wie der Vergleich mit Abbildung 3.9 zeigt.

In den meisten Punkten der Abbildung 4.13 nimmt $m_0({\mbox{\protect\boldmath${\mbox{\protect\boldmath$s$}}$}})$ den Minimalwert $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})=2$ an, was verständlich ist, weil bei einer so hohen Energie ($E=0.50$) kaum noch gute Konvergenzeigenschaften des Quasiintegrals zu erwarten sind. Der Poincaré-Plot bei dieser Energie, Abbildung 3.12, besteht -- neben einem auffallenden 2-Zyklus, den wir auch in Abbildung 4.14 eindeutig identifizieren können -- vor allem aus einer großen stochastischen Region. Diese Region wird im $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Plot nicht strukturlos, sondern mit einer durchaus regelmäßigen Verteilung der $m_0$-Werte dargestellt. Ein Rest von Ordnung im Chaos? Jedenfalls deutet unsere Abbildung an, daß die Divergenzgeschwindigkeit in einer chaotischen Region sehr inhomogen sein kann. Diese Beobachtung könnte ein Ansatzpunkt für die weitergehende Untersuchung der stochastischen Gebiete unseres Systems sein -- eine solche Untersuchung würde aber den Rahmen der vorliegenden Arbeit sprengen. Auch bei Abbildung 4.14 fällt auf, daß das Zentrum des großen 2-Zyklus mit kleineren $m_0$-Werten dargestellt wird als seine unmittelbare Umgebung. Demnach divergiert $I_{\rm BG}^{(m)}$ auf den die periodischen Punkte umgebenden invarianten Linien langsamer als in den periodischen Punkten selbst.

Zusammenfassend stellen wir fest, daß die hier neu eingeführten $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Plots ein äußerst nützliches Hilfsmittel zur Charakterisierung der Poincaré-Fläche sein können und insbesondere solche Gebiete von $\Sigma_E$ weitergehend klassifizieren können, die im Poincaré-Plot unterschiedslos als homogene Regionen regulären (oder auch chaotischen) Verhaltens dargestellt werden.

Bisher konnten wir schon anhand der $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Plots eine erstaunlich reichhaltige Struktur in der Poincaré-Fläche nachweisen. Wir versuchen nun, die Auflösung des Verfahrens weiter zu erhöhen, denn es erweist sich bei den $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Plots als nachteilig, daß zur Charakterisierung von ${\mbox{\protect\boldmath$s$}}$ lediglich sieben mögliche Werte für $m_0$ zu Verfügung stehen: $2,4,\ldots,14=m_{\rm max}$.

Die Abbildungen 4.1 bis 4.6, ebenso wie Abbildung 4.11, lassen die Vermutung zu, daß die Divergenz des Quasiintegrals und damit auch das Verhalten von $\eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ als Funktion von $m$ einer gewissen Regelmäßigkeit unterliegen. Um diese Beobachtung quantitativ zu machen, versuchen wir, $\eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ durch eine Exponentialfunktion zu nähern,

$$\eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}}) \approx ae^{\alpha m} \quad,$$ (4.22)

wobei $a$ und $\alpha$ noch zu bestimmen sind. Nach den Ergebnissen der vorangehenden Abschnitte ist klar, daß diese beiden Größen vom Startwert ${\mbox{\protect\boldmath$s$}}$ abhängen; deswegen schreiben wir auch $a({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ und $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$.

$a({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ und der ,,Exponent`` $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ -- der hier eine ähnliche Bedeutung wie der Ljapunov-Exponent hat -- lassen sich näherungsweise mit der Methode der kleinsten Quadrate (vgl. [BrSe85, S. 787]) aus den $\eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ berechnen. Der direkte Vergleich des Graphen der Funktion $a({\mbox{\protect\boldmath$s$}})e^{\alpha({\mbox{\protect\footnotesize\protect\boldmath$s$}})m}$ mit den Punkten $(m,\eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}}))^T$ ergibt, daß in den meisten Fällen die Approximation (4.34) recht gut ist. Wir demonstrieren dies in Abbildung 4.15; die folgende Tabelle gibt die für die Abbildung verwendeten Parameter $E$ und ${\mbox{\protect\boldmath$s$}}$ sowie die daraus berechneten Exponenten $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ an.

$\;$ Abbildung $\;$	$E$		${\mbox{\protect\boldmath$s$}}$	$\,\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$
4.15a	0.01		$(0.81,0.0553)^T$	-0.39
4.15b	0.20		$(1.69,0.5970)^T$	1.37
4.15c	0.20		$(0.00,0.3000)^T$	0.32

Die Abbildungen 4.15a und 4.15b demonstrieren exemplarisch die Qualität der Approximation für ein konvergentes und ein divergentes Quasiintegral.

Abbildung 4.15c ist die entsprechende Darstellung für ein Quasiintegral, das bis zum Grad 8 konvergent ist, um dann für größere $m$ zu divergieren -- eine ähnliche Situation wie in Abbildung 4.4. Dieses Verhalten wird offensichtlich durch eine einfache Exponentialfunktion nicht vollständig reproduziert. Andererseits können wir diese Einschränkung zur Methode machen und von nun an nur das asymptotische Verhalten bei möglichst großen $m$ untersuchen. Nachdem das in Abbildung 4.15c dargestellte $\eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ sein Minimum bei $m=8$ durchlaufen hat, steigt es in etwa exponentiell an und kann dann gemäß Gl. (4.34) sinnvoll genähert werden. Wir beschränken uns deshalb bei der $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Methode auf die $m$-Werte $8,\ldots,14$. Weil das Quasiintegral $I_{\rm BG}^{(m)}$ nur bis zur Ordnung 14 vorliegt, können wir keine größeren Werte von $m$ in die Rechnung einbeziehen, obwohl dies natürlich wünschenswert wäre. Inwieweit das hier skizzierte Vorgehen -- insbesondere die Tatsache, daß wir die $\eta_{\rm BG}^{(m)}({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ mit $m=2,4,6$ vernachlässigen -- sinnvoll ist, muß weiter unten anhand der Ergebnisse der Methode entschieden werden. In diesem Zusammenhang illustrieren die Abbildungen 4.15a und 4.15b, daß man im Fall eindeutiger Konvergenz oder Divergenz durch die Nichtberücksichtigung kleiner $m$-Werte die Qualität der Approximation nicht wesentlich beeinträchtigt.

Die $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Methode weist gegenüber dem $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Verfahren den Vorteil auf, daß wir eine den Phasenraum charakterisierende Funktion $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ erhalten, deren Wertespektrum im Gegensatz zu dem von $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ kontinuierlich ist. Wir erwarten, daß sich dadurch die Eigenschaften des Phasenraumes detaillierter abbilden lassen. Je größer $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ ist, desto divergenter sollte sich das Quasiintegral mit dem Startwert ${\mbox{\protect\boldmath$s$}}$ verhalten und umso chaotischer ist das Gebiet der Poincaré-Fläche, aus dem der Startwert ${\mbox{\protect\boldmath$s$}}$ entnommen wurde. Umgekehrt bedeutet ein negativer Wert von $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ Konvergenz -- zumindest für die bei der Rechnung verwendeten Werte von $m$ -- was auf den regulären Charakter des entsprechenden Phasenraumgebietes hinweist. Wenn $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ zwar positiv, aber klein ist, dann divergiert das Quasiintegral zwar, es deutet sich aber trotzdem noch ein Rest von Ordnung in der Dynamik an. Falls der Ljapunov-Exponent in einer Region des Phasenraumes positiv und klein ist, spricht man von schwachem Chaos Nach dem vorher Gesagten scheint es uns angebracht, diesen Begriff auch für Phasenraumgebiete mit positiven, aber kleinen $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Werten zu verwenden.

Diese Interpretation des Exponenten $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$ wird durch die Abbildung 4.16 bestätigt, die trotz der groben Rasterung der Bildpunkte ein detailreiches Bild der Poincaré-Fläche zeichnet und reguläre und chaotische Gebiete in recht guter Übereinstimmung mit Abbildung 3.9 identifiziert.

Abbildung 4.16 steht zudem keineswegs im Widerspruch zu dem entsprechenden $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Plot 4.13, sondern ergänzt ihn in der gewünschten Weise. So wird hier zum Beispiel die große Inselkette feiner aufgelöst und wir finden die Beobachtung bestätigt, die wir bei Abbildung 4.13 gemacht haben: Das Quasiintegral zeigt in der Umgebung periodischer Punkte (abgesehen vom Fixpunkt im Ursprung von $\Sigma_E$) ein stärker divergentes Verhalten^4.4. Das gleiche Phänomen erkennt man auch anhand der vielen kleineren Inselketten, die im $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Plot deutlich und in Übereinstimmung mit den entsprechenden Regionen des Poincaré-Schnittes hervortreten -- im $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Plot traten diese Inselketten überhaupt nicht zutage.

Insgesamt scheint damit unser Vorgehen -- insbesondere das Ignorieren der $\eta_{\rm BG}^{(m)}$ mit $m<8$ -- gerechtfertigt. Wir weisen aber darauf hin, daß das $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Verfahren die besten Resultate bei mittleren Energien (wie zum Beispiel $E=0.20$) erbringt. Wir haben zum Vergleich auch $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Abbildungen bei den Energien $E=0.01$ und $E=0.5$ angefertigt. Bei der niedrigeren Energie ergab sich im wesentlichen das gleiche Resultat wie im $m_0({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Plot 4.12; es wurden keine zusätzlichen Strukturen gefunden. Der $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Plot zur Energie $E=0.50$ reproduzierte die in Abbildung 4.14 dargestellten ,,Strukturen im Chaos`` nur teilweise. Zumindest ergab sich aber auch mit dem eher spekulativen $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Verfahren kein Widerspruch; das heißt, wir haben mit diesem Verfahren keine Eigenschaften gefunden, die im Widerspruch zu den Ergebnissen stehen, die man aus den Poincaré-Schnitten erhält.

In den letzten beiden Abschnitten haben wir drei neue Verfahren vorgeschlagen, die sich sehr gut zur Analyse der Konvergenzeigenschaften des Quasiintegrals $I_{\rm BG}^{(m)}$ eignen. Darüber hinaus ist es möglich, mit Hilfe dieser Verfahren diejenigen Strukturen in der Poincaré-Fläche zu reproduzieren und zu charakterisieren, die man gewöhnlich aus Poincaré-Schnitten erhält. Man kann den $\alpha({\mbox{\protect\boldmath$s$}})$-Abbildungen aber oft noch erheblich mehr Information entnehmen als den entsprechenden Poincaré-Plots. Dies gelingt zum Beispiel dann, wenn letztere nur noch ein stochastisches Gebiet zeigen, das aber mit Hilfe des Konvergenzverhaltens des Quasiintegrals noch weitergehend charakterisiert werden kann. Es sei an dieser Stelle angemerkt, daß man durch Berechnung des Ljapunov-Exponenten für die Punkte der Poincaré-Fläche zu vergleichbaren Resultaten gelangen kann. Dies wird in [KaRo92] demonstriert. Im Gegensatz zur Analyse mittels Ljapunov-Exponenten, die als rein phänomenologische Größen berechnet werden, erhält man aber durch die Verwendung der Quasiintegrale nicht allein Aussagen über die Regularität, sondern auch über die Konvergenz der entsprechenden normalisierenden kanonischen Transformation.

Ein Nachteil dieser globalen Verfahren zur Analyse der Poincaré-Fläche ist der sehr große numerische Aufwand. Um ein aussagekräftiges Bild zu gewinnen, muß man für sehr viele Punkte über ein längeres Zeitintervall hinweg Trajektorien durch numerische Integration berechnen, um die erforderlichen Mittelungsprozesse durchführen zu können. Ein Nachteil, den unsere Analysemethoden aber mit dem sich auf Ljapunov-Exponenten stützenden Verfahren gemein haben.

Fußnoten

... Verhalten^4.4

Der Grund für die schnellere Divergenz in der Nähe von Resonanzen ist in dem lokalen Charakter des Quasiintegrals und ganz allgemein der Normalformentheorie zu suchen -- man vergleiche hierzu die Erörterungen in Kapitel 1. Typischerweise treten in der Nähe von periodischen Punkten bei der Transformation der Hamilton-Funktion ,,kleine Nenner`` auf, die die Konvergenz der Transformation schließlich verhindern. Um die Situation in der Umgebung eines anderen periodischen Punktes als des Ursprunges zu untersuchen, müßte man zunächst die Hamilton-Funktion um diesen Punkt herum entwickeln und dann die Normalisierungsprozedur mit der so erhaltenen neuen Hamilton-Funktion durchführen. Alternativ hierzu wird in [La90] ein Verfahren beschrieben, mit dem die Normalformtransformation nicht, wie hier, in der Nähe des Entwicklungspunktes am besten konvergiert, sondern statt dessen in einer vorzugebenden Entfernung von diesem Entwicklungspunkt.