Die in Abschnitt 3.1 vorgenommene Analyse,
insbesondere die Abbildungen 3.3 und
3.5,
deuteten schon darauf hin,
daß -- zumindest bei Energien unterhalb der Sattelpunktsenergie 16/27
-- die Dynamik in der Brown-Gabrielse-Flasche
im Zentralbereich um
herum typischerweise aus der Überlagerung zweier Oszillationen besteht:
einer schnellen Oszillation in -Richtung und einer viel langsameren
Oszillation in -Richtung. Dieses Verhalten
läßt sich damit begründen,
daß das Teilchen in -Richtung schon in niedrigster
(quadratischer) Ordnung gebunden ist, anders als in -Richtung:
(3.17) |
Es ist deshalb sinnvoll, als Poincaré-Schnittfläche
die -Ebene zu
wählen.
Genauer haben wir:
Die Poincaré-Abbildung ist wie gewöhnlich definiert als
die Wiederkehrabbildung für die Punkte der Poincaré-Fläche:
(3.21) |
Wir definieren hier die Poincaré-Fläche und dementsprechend die Poincaré-Abbildung nur für Energien mit . Denn weil nicht negativ werden kann, hätte zur Folge, daß die einzigen Lösungen der kanonischen Gleichungen Fixpunkte (im Ortsraum auf den Kurven liegend) wären -- eine triviale Situation mit relativ uninteressanter Dynamik. Die Sattelpunktsenergie schließen wir aus, weil es in diesem Fall Punkte in gibt, für die die Wiederkehrzeit unendlich groß wird: Die beiden Sattelpunkte des Potentials entsprechen dann Fixpunkten des Flusses . Für größere Energien als 16/27 ist nicht mehr sichergestellt, daß jede mit startende Trajektorie wieder zur Poincaré-Fläche zurückgelangt. Auch hier sind Singularitäten, das heißt Unstetigkeiten der Poincaré-Abbildung zu erwarten.
Zunächst ist nun zu überprüfen, ob die so definierte Abbildung die Anforderungen erfüllt, die man gewöhnlich an eine Poincaré-Abbildung stellt. So fordert man beispielsweise, daß der Fluß die Poincaré-Fläche überall transversal schneidet und daß jeder Punkt durch den Fluß nach endlicher Zeit wieder auf abgebildet wird. Die erste Bedingung stellt sicher, daß stetig und gegebenenfalls sogar differenzierbar ist [PaMe82]. Und nur wenn die Wiederkehrzeit für alle endlich ist, kann man sicher sein, daß die vollständige Dynamik durch die Poincaré-Abbildung repräsentiert wird.
Um diese Eigenschaften zu überprüfen,
untersuchen wir die Radialbeschleunigung . Nach Gl. (3.6c) gilt
(3.22) |
Nach diesen Vorbereitungen können wir uns der numerischen Analyse der Brown-Gabrielse-Magnetflasche zuwenden und den Nachweis dafür führen, daß die Dynamik dieses Systems unter gewissen Bedingungen chaotisch ist.